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1、第十三章 存储论,13.1 确定型经济订货批量模型13.2 单周期随机需求模型,存储论的提出,？,？,？,水库蓄水问题;生产用料问题;商店存货问题;等,存储论的基本概念,存储系统 是一个由订货、存储、需求三个环节紧密构成的现实运行系统。,主要作用 将供给与需求分离，为整个系统的平稳运行提供保障。,两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用,需求:由于需求，从存储中取出一定的数量，使存储量减少，这是存储的输出。需求类型：间断的,连续的;确定性的,随机性的,几种相关的费用订 购 费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数 量无关的一次性费用物资单价：是否与时间有关？是否与批量有关？存 储 费：包括
2、保管费、仓库占用费、流动资金利 息、存储损耗费等，与时间和数量成正比缺 货 费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断 货形成的机会损失,存储系统、费用和管理,补充(订货和生产)：由需求存货减少，必须加以补充，这是存储的输入。拖后时间(订货时间):补充存储的时间或备货时间订货时间：可长，可短，确定性的,随机性的,常用的变量,单位存储费用 C1缺货费用 C2订货费用C3需求速度 D订货数(批)量 Q货物单价 K订货时间间隔 t总平均费用 C(t),存储策略,How？Much？When!,存储策略的类型：t0-循环策略:每隔 t0补充存储量 Q。(s,S)策略:当存量 xs 时不补充,当存量 x s
3、 时不补充,当存量 x=s 时,补充量 Q=S-x。,13.1 确定型经济订货批量模型,模型1:瞬间供货，不允许缺货的经济批量模型,假设缺货费用无穷大；当存储降至零时，可以得到立即补充；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。,经济订货批量,假定每隔 t 时间补充一次库存 R-单位时间的需求量 Rt-t时间内的总需求量 Q=Rt-订货量订货费 C3-订货费，K-货物单价 订货费为:C3+KQ=C3+KRt 平均订货费:C3/t+KR存储费 平均存储量:Rt/2 单位时间存储费:C1 平均存储费:RtC1/2,求极小值(用微分方法),最佳
4、订货间隔,最佳订货批量,最佳费用,t 时间内的平均总费用,Annual cost(dollars),Lot Size(Q),Ordering cost(OC),Holding cost(HC),Total cost=HC+OC,C(t),1/2C1Rt,C3/t,t0,例1 某厂按合同每年需提供 D 个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费 C3 元。存储费每年每单位产品为 C1 元，问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和最少。,解 设全年分 n 批供货，每批生产量 QDn，周期为 1/n 年(即每隔 1/n 年供货一次)。每个周期内平均存储量为(1/2)Q，每个周期内的平均存储费用
5、为 全年所需存储费用,全年所需装配费用全年总费用(以年为单位的平均费用)，为求出 C()的最小值，把看作连续的变量最佳批次最佳周期 另外：t0 要取整数。,模型2:瞬时供货，允许缺货的经济批量模型,假设允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订货费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。,天数,存储量,t1,t,t1,t,假设：C1-单位存储费用 C2-缺货费C3-每次订货费用 R-需求速度S-最初存储量,天数,存储量,t1,t,t1,t,S,R(t-t1),S=Rt1,决策变量:S 和 t存储费t时间平均储量:t时间的存储费:缺货费平均缺货量
6、:t时间内的缺货费,订货费：C3t期间内的平均总费用上式对t和S求偏导：对S和t求偏导,令其等于零,求解得:,最佳周期 t0是模型1的最佳周期 t 的 倍，又由于，所以两次订货时间延长了。不允许缺货量，订货量为最大缺货量为：,例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存储费用为0.4元，缺货费用为0.15元，求及最低费用。解：P=500,R=100,C3=5,C1=0.4，C2=0.15，,模型3:边供应边需求，不允许缺货的经济批量 模型,假设缺货费用无穷大；不能得到立即补充，生产需一定时间；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生
7、产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。,T 天数,存储量,T 天数,存储量,T 天数,存储量,t,t,假设：Q-生产批量 T-生产时间P=Q/T-生产速度 R-需求速度(R P)P-R-存储速度(生产时，同时也在消耗),天数,存储量,t,t,斜率=-R,斜率=P-R,决策变量:t 和 Q 在0,T区间内存储以P-R速度增加，在T,t内存储以R速度减少。且有(P-R)T=R(t-T)，即 PT=Rt，所以 T=Rt/P 又因 Q=PT，所以 Q=Rt存储状态:每一期的存储量:每一期的存储费:,生产费(订货费)：不考虑变动费:C3 单位时间总平均费用,最佳周期,最佳批量,最佳费用,最佳生产时间,
8、库存的最高量,例：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存储费用为0.4元，求及最低费用。解：P=500,R=100,C3=5,C1=0.4,模型4:边供应边需求，允许缺货的经济批量 模型,假设允许缺货；不能立即补充定货，生产需要一定时间；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变（每次生产量不变，装配费不变）；单位存储费不变。,假设：C1-单位存储费用 C2-缺货费C3-每次订购费用 R-需求速度 P-生产速度,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,取 0,t 为一个周期，设 t1时刻开始生产。0,
9、t2 时间内存储为零，B为最大缺货量。t1,t2 满足需求及 0,t1 内的缺货。t2,t3 满足需求，存储量以P-R速度增加。t3时刻达到最大。t3,t 存储量以需求速度R减少。,P-R,R,S,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,缺货费用：最大缺货量：B=Rt1=(P-R)(t2-t1)平均缺货量：(1/2)Rt1 得：0,t 内缺货费用1/2Bt2c2,B,P-R,R,S,天数,存储量,t,t1,t2,t3,0,B,P-R,R,S,存储费用：最大存储量：S=R(t-t3)=(P-R)(t3-t2)平均存储量:(1/2)(P-R)(t3-t2)得：,0,t 内存储费用:1/2(t-t2
10、)SC1,装配费用：C3t 时间内总平均费用：,上式对 t和 t2 求偏导数得：,最佳生产间隔期,最佳生产批量,最大存储量,最大缺货量,最小费用：,模型5:不允许缺货，批量折扣模型,假设不允许缺货；立即补充定货，生产时间很短；需求是连续的、均匀的；每次订货量不变，订购费用不变；单位存储费不变。单价随购物数量而变化。,单价 K(Q),1,2,3,Q1,Q2,记货物单价为 K(Q)，设K(Q)按三个数量级变化：,单价 K(Q),1,2,3,Q1,Q2,当订购量为 Q 时，一个周期内所需费用为：,平均每单位货物所需费用为：,Q,C(Q)平均单位费用,0,Q1,Q2,C1(Q),C2(Q),C3(Q)
11、,价格有折扣的情况下，最佳批量的算法如下：1、对 C1(Q1)（不考虑定义域）求得极值点为 Q0：2、对 Q0 Q1，计算 由 得到单位货物最小 费用的订购批量 Q*3、对 Q1=Q0 Q2，由 得到单位 货物最小费用的订购批量 Q*4、对 Q2 Q0，则取 Q*=Q0。,上述步骤易于推广到单价和折扣分 m 个等级的情况。如订购量为Q，单价为K(Q)，,平均每单位货物所需费用为：,平均每单位货物所需对 C1(Q)求得极值点为Q0。若 Qj-1=Q0 Qj，求 得到单位货物最小费用的订购批量 Q*,例：某厂每年需某种元件5000个，每次订购费用为50元，每年每件产品存储费用为1元，元件单价随采购
12、数量的变化如下：求及最低费用。解：R=5000,C3=50,C1=1，利用E.O.Q.公式计算：,因 Q0=707 1500，分别计算每次订购707个和1500个元件所需平均单位元件费用：因C(1500)C(707)知最佳订购批量 Q=1500。,13.2 单周期随机需求模型,？,？,问题的引入 需求为随机的，其概率或分布为已知 例：商店对某种商品进货300件，这300件商品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之后还有剩余。,例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片。每售一千张可赢利7元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损4元。市场需求的概
13、率见下表每年只订一次货，问应订购多少张使利润的期望值最大？,解：如果订货4千张，获利的可能数值为：当市场需求为0时获利为一44=-16(元)当市场需求为1时获利为一43+7=-5(元)当市场需求为2时获利为一42+72=6(元)当市场需求为3时获利为一41+73=17(元)当市场需求为4时获利为一4O+74=28(元)当市场需求为5时获利为一40+74=28(元)订购量为4千张时获利的期望值 EC(4)=(-16)0.05+(-5)0.10+60.2+170.35+28O.15+28O.10=13.15(元),本例还可以从相反的角度考虑求解。当订货量为 Q 时，供过于求的情况，可能发生滞销赔损
14、；求过于供的情况，可能发生因缺货而失去销售机会的损失。把这两种损失合起来考虑，取损失期望值最小者所对应的 Q 值。,与确定性模型不同的特点：不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解，如不缺货的概率为0.9等等。存储策略的优劣：以赢利的期望值的大小作为衡量的标准。,当该店订购量为2千张时，计算其损失的可能值 当市场需求量为O时滞销损失为(-4)2-8(元)当市场需求量为l时滞销损失为(-4)1-4(元)当市场需求量为2时滞销损失为 0(元)(以上三项皆为供货大于需求时滞销损失)当市场需求量为3时缺货损失为(-7)l-7(元)当市场需求量为4时缺货损失为(-7)2-14(元)当市场需求量为5时缺货
15、损失为(-7)3-21(元)(以上三项皆为供货小于需求时，失去销售机会而少获利的损失)订购量为2千张时缺货和滞销两种损失的期望值 EC(2)=(-8)0.05+(-4)0.10+00.25+(-7)0.35+(-14)O.15+(-21)O.10=-7.45(元),订购3000张时，损失最小为4.85元。,模型6:离散型随机需求存储模型,报童问题 报童每天售报是 个随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元，报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数的概率为 P(r)，问报童每日最好准备多少份报纸。,1、损失期望值最小法 设售出报纸数量为r，其概率为P(r)，设报童订购报纸数量为Q，供过于求(
16、rQ)，报纸因缺货的损失的期望值,当订货量为Q时，总的损失期望值为决定Q值，使C(Q)最小。,R 是离散变量，不能求导求极值。求C(Q)步骤如下：设报童订购报纸数量为Q，若C(Q)最小，则有：由(1)式有：简化后有：,由(2)式有：简化后有：,由上面两个不等式得报童应准备的报纸是佳数量为：从上面的不等式出发，确定最优批量Q。,2、赢利期望值最大法 供过于求(rQ)，只有r份报纸可售，报纸赢利期望值为：,当订货量为Q时，总的赢利期望值为：决定Q值，使C(Q)最小。,r是离散变量，不能求导求极值。求C(Q)步骤如下：设报童订购报纸数量为Q，若C(Q)最大，则有：,由(1)式有：简化后有：,由(2)
17、式有：,由上面两个不等式得报童应准备的报纸是佳数量为：从上面的不等式出发，确定最优批量Q，上面不等式与方法1求得的结果相同。,例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片。每售一千张可赢利7元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损4元。市场需求的概率见下表每年只订一次货，问应订购多少张使利润的期望值最大？,解：,该店订购3千张日历为最佳。,模型7:连续型随机需求存储模型,需求为连续的随机变量设货物单位成本为K单位售价为P，单位存储费用为C1，需求r是连续随机变量，密度函数为（r），其分布函数为生产或订货量为Q,Q,T,W,S,连续需求,当订购数量
18、为Q时：实际的售量应当是：minr,Q 供过于求(rQ)，销量为Q;,Q,T,r,连续需求,各项费用：存储费用：货物成本：KQ,赢利为W(Q)，W(Q)=P minr,Q-KQ-C1(Q)赢利期望值EW(Q)：,赢利销售收入货物成本存储费用,常量(平均盈利),缺货损失期望值,滞销损失期望值,常量(购货成本),为使盈得期望值最大化，有下列不等式：max EW(Q)=P E(r)-min EC(Q)max EW(Q)+min EC(Q)=P E(r)因此，盈利最大和损失最小所得出的Q值是相同的。而两者的和为一常数，称为平均盈利。,可能盈利=19.25,由以上分析，求赢利最大转化为求损失最小。当Q连续取值时，EC(Q)是Q的连续函数。可用微分方法求解。对上式求导：,令,则,记,从上式中解出Q，记为Q*，为EC(Q)的驻点。又因：知Q*为EC(Q)的极小值点。若 P-K=0，等式不成立，此时*取零值。即售价低于成本时，不需要订货。上式只 考虑了失去销售机会的损失，如果缺货时要付出的费用C2 时，应有：用上面的方法推导得：,多阶段问题：设上一阶段未售出的货物量为 I期初的存储量，则有：则有：求出Q*。相应的存储策略为：（定期订货，订货量不定的存储策略）=Q*，本阶段不订货。Q*，订货量为 Q=Q*-。,例,解：,第十三章作业21019,
