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1、第二章 汽车可靠性理论基础,第二章 汽车可靠性理论基础,第一节 可靠性函数第二节 可靠性理论分布第三节 可靠性数据分析,一、可靠性的有关概念,1、可靠性指产品在规定的使用条件下，规定的时间内保持规定功能的能力。,2、可靠度（R）指产品在规定的使用条件下，规定的时间内保持规定功能的概率。式中：称为不可靠度，或是累计故障概率。,3、不可靠度定义：产品在规定条件下和规定时间内不能完成规定功率的概率或发生故障的概率记为 与可靠度相对应：不可靠度和可靠度的关系：,4、故障密度由概率论知：若故障分布函数 连续可导，则故障密度函数 可由 求导得出：上式表示产品出现故障的概率随时间变化的规律。即反映了单位时间
2、的失效概率。,5、故障率定义：工作到某时刻未失效的产品，在该时刻后单位时间内发生故障的概率，称为该产品在 t 时刻的故障率。,例题2-1,在同一批汽车零件中，随机抽样试验，其抽样数为n=70，使其在规定的条件下工作，记录的抽样零件数的失效时间分布如图所示，试求可靠性函数。,二、产品的寿命特征,对不可修复的产品，其寿命是指故障前的工作时间。对可修复产品，其寿命是指两故障间的平均工作时间，也称无故障工作时间。,1、平均寿命（T）,所谓平均寿命就是寿命的平均值，或是平均无故障工作时间，MTBF（mean time between failures）。当故障密度f(t)为连续时，当f(t)为离散时，则
3、,1、平均寿命（T）,MTBF示意图,2、可靠寿命（TR）,产品可靠度到达定值 R0时所用的时间，称为该产品的可靠寿命TR。若寿命服从指数分布，则 注：当该产品寿命服从指数分布时，可证明：此式可求出指数分布下任意可靠度水平的可靠寿命。,3、中位寿命可靠度为0.5时产品的寿命称为中位寿命。当产品工作时间达 时，其失效概率和不失效概率各占一半。4、特征寿命当可靠度 时的产品寿命，称为特征寿命，记为。一般电子产品多数服从指数分布，特征点 被认为是老化期的开始点。以上分析的可靠性函数以及特征寿命相互之间的关系如图2-12所示（课本P9）,第二节 可靠性理论分布,一、正态分布（1）正态分布的故障密度函数
4、为其特征为：a.为均值；b.为标准差，曲线在 处存在拐点；c.曲线在 区间的面积为；在 区间的面积为；在 区间的面积为。,汽车可靠性研究中所用的理论分布类型很多，常用的分布有：正态分布、对数正态分布、指数分布、威布尔分布。,（2）正态分布的不可靠度函数：其特征为：a.为一非减函数；b.；c.。,（3）正态分布的可靠度函数为：标准正态分布的可靠度函数：故障率函数为：标准正态分布的故障率函数：,（4）正态概率坐标纸及其应用。概率纸一类依特定的概率分布而制作的坐标纸。对于每个连续的分布函数，都可以设计一种坐标纸，使该分布函数在其上的图形呈一条直线。因此，概率纸常依概率分布来命名，例如正态概率纸、对数
5、正态概率纸，威布尔概率纸和伽玛概率纸等。利用概率纸，可根据样本对总体分布的类型进行检验，对分布参数进行估计，以及进行其他简便快速的统计推断。,二、对数正态分布,正态分布虽然应用比较普遍，但其分布规律对于均值由对称性这一特征，往往在一些场合的使用受到了限制，如汽车零件的疲劳寿命，属于不对称型的分布。另外，理论上在 时，正态的分布的失效率为零，或者说当 时，表明有的试验样本未经使用就失效了，显然与实际不符。对数正态分布是一种不对称分布用来描述零件寿命的一种较好的分布。,若随机变量T的对数值lnt服从正态分布，则该随机变量T就服从对数正态分布。这里引进另一个相关的随机变量X，且：,现将带入上式，并考
6、虑，则得对数函数正态分布的概率密度函数及其分布函数如下：,分布函数：密度函数：其 中的对数正态分布曲线如图2-20所示（课本P13）,对数正态分布概率密度函数曲线是单峰的偏态分布。对数正态分布变量可以用自然对数表示，也可用以10为底的常用对数表示。式中：,，为对数均值；，为对数标准差，不能当作对数正态分布的均值与方差，对数正态分布的数学期望为：,方差：,平均寿命：,方差寿命：,可靠寿命：,例2-3：某批产品服从故障率 的指数分布，当它工作500h时，其未失效数为3679件。试求从第500h开始，工作到800h的失效数。,解：从500h开始工作到800h之间的300h内可靠度为：根据失效率的定义
7、，可计算从500h到800h区间的未失效数：故可求出失效数 如下：,三、指数分布,指数分布的密度函数：指数分布的累积分布函数：指数分布的数学期望：,指数分布的方差：可靠度函数：故障率：,寿命特征有：方差寿命：可靠寿命：中位寿命：特征寿命：,四、威布尔分布,威布尔分布的概率密度函数：不可靠度函数：可靠度函数：故障率函数：,威布尔分布为三参数分布，其可靠性函数如下:,若设 时，上边四式可写成：,式中：,1、形状参数 m形状参数m的值的大小决定、的曲线形状。2、尺度参数改变曲线的纵、横坐标的标尺，的形状随之发生改变。3、位置参数 值不同，曲线形状不变，只是曲线起点的位置发生变化，增大，曲线沿横坐标正
8、方向平行移动。,例2-4：已知某汽车零部件疲劳寿命服从威布尔分布，其形状参数m=2，尺寸参数，位置参数，求该零部件工作到100h的可靠度。,解：100h失效概率为：,100h可靠度为：,参数的估计,形状参数 的估计。尺度参数 的估计。参数 的估计。位置参数 的估计。,(见图2-28),第三节 可靠性数据分析,在可靠性研究中，多数情况下，不可能对研究对象进行全数试验，而是从总体中抽取样本进行试验，用样本的观察值来研究和估计总体情况。其方法为：对数据进行归纳、整理，确定数据的特征属哪种分布。对数据进行分析，计算该数据分布函数的参数。对假设的分布函数进行检验，证明假设是否成立。确定假设成立，对产品做
9、出可靠性评估。分布函数估计有两种类型：点估计和区间估计。,一、点估计:用一组样本的观察法去估计总体的某一未知参数为点估计。,1、总体期望值估计样本来自于总体，它在一定程度上反映总体情况，可以以样本均值作为总体均值的估计值。理论与实践证明，用样本的平均值来估计总体的平均值是可行的。其估计的精度与样本容量有关，样本容量n越大，估计值的精度越高。2、总体方差估计一般情况下，总体方差D(x)是未知的，只能用样本方差S2作为总体方差的估计值。但这种估计是有偏的，要得到无偏的估计值，必须乘上修正系数。该修正系数，于是得到的无偏方差估计值为：，其无偏标准差：,当样本容量足够大时，其，当n极少时，其计算误差较
10、大。在小样本情况下()用，可以减少误差。,修正系数 计算式中的n-1称为样本的自由度。,样本中每个观测值 与平均值 之差称为离差。设有四个观测量，则它们的离差为：式中：离差的总和：所以由此可知：这四个偏差只有三个是独立的，也就是说四个偏差当中有三个确定后，另一个可由上式获得。因此，我们说，这四个偏差有三个自由度，对于n个偏差，则有n-1个自由度。由于偏差有正有负，其总和为零，因此将离差平方起来相加，再除以自由度n-1，即,二、参数的区间估计对于大样本容量，点估计精度比较高，接近总体参数的估计。对于小样本容量，很可能有较大的差别。于是，提出了区间估计的概念。,区间估计：就是在给定概率100(1-
11、)%的条件下，对未知参数的范围估计。,式中：,具有置信下限和置信上限的，称为双侧置信限；只有置信上限或下限的，称为单侧置信限，如图2-30，图2-31，图2-32所示（课本P23）,由于大多数数据服从正态分布，所以以下以正态分布为对象，讨论其均值 和方差 的区间估计,1、正态分布均值的区间估计,对于正态分布的母体X，即，其样本()的平均值 是随机标量，且服从正态分布，其数学期望，方差。,把 作为统计量来进行区间估计（如图2-33所示），其概率为：,故在置信度为,移项，得参数 的区间估计为,100(1-)%的条件下 的置信区间是将上式括号内的不等式,例2-5：设母体，随机取样得四个观察值12.6
12、，13.4，12.8和13.2。求置信度 的双侧置信区间。,解：样本均值：则 查正态概率表，标准化置换反函数取绝对值即：又因故得，置信下限：置信上限即均值 的置信区间为（12.71，13.29），置信度为95%。,对于服从正态分布的母体,当 未知时，通常利用样本 的标准差 作为 的估计值,这时的随机变量为：,2）正态分布的 未知时，求 的置信区间,随机变量T服从t分布的分布规律。t分布的特点是与母体分布的标准差 无关。故知道了t值，即可由t分布表查出概率值。,根据数学定理,设母体X服从正态分布,其样本 的平均值和方差分别为 和,则,2、正态分布方差 的区间估计,样本方差与总体方差接近程度是自由
13、度为n-1的服从 分布的函数，随机变量 服从自由度 的 分布（如图2-34），作：,三、参数的假设检验,为了推断母体的情况，了解母体的均值、方差或两个母体是否等同，通常可对母体先做出假设，然后通过分析来检验原假设是否能被接收。这种方法称为“假设检验”。假设检验的基本思想是：小概率事件是不会发生的，若一旦发生了小概率，则认为该事件只是偶然发生，不能代表一般性质。因此，假设检验的基本方法是反证推断法，即首先对母体的某种性质做出假设，而且假定这种假设是成立的，由此来推算包含样本值的实际的发生概率。若得出的是大概率，说明没有矛盾，可以接受原假设；若得出的是小概率，说明原假设不能接受，因而拒绝原假设的成立。,下面介绍正态分布的假设检验：,1.Z检验已知母体方差 值的均值检验,由于母体方差未知，故用样本方差 代替母体方差，如前所述，可用统计量 来进行分析。若假设成立，则。因为，故在显著性水平 下检验假设 的否定域（如图2-36所示）为式中：,2.t检验未知母体方差 值的均值检验,3.检验未知母体 的方差 的检验,
