各种信号傅里叶分析.ppt

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1、各类信号的Fourier分析,1连续周期信号(FS),设xp(t)是时域连续周期信号，周期为tp，且满足狄里克雷条件，则的Fourier级数存在,系数cn是基波和各次谐波的幅值，计算公式为,x(t)是xp(t)在0,tp之间的取值，称为xp(t)的主值区间,设f(t)是连续非周期信号，且满足绝对可积条件，则f(t)的Fourier变换存在,其中,2连续非周期信号,Fourier变换的性质,3离散非周期信号(DTFT),离散序列x(n)满足绝对可和条件，则x(n)的Fourier变换存在,频谱的主值区间为=0,2,例：设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,解：,设N=4，幅度与相位随变化曲线

2、如图所示。,R4(n)的幅度与相位曲线,4离散周期信号(DFS),设xp(n)是周期为N的离散周期序列，xp(n)=xp(n+kN)，周期为N，则周期序列xp(n)可以像时间连续周期信号那样展开成Fourier级数,其中k为任意整数，k=k0k次谐波的角频率，,基波角频率，ckk次谐波的幅度,其中,令XN(k)=Nck，则有,将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为 k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，幅度为(1/N)XN(k)。基波分量的频率是2/N，幅度是(1/N)X1(k)。,例:设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行 周期延拓，周期为8，得到周期序列，求此序列

3、的DFS。,解：,其幅度特性如图(b)所示。,5有限长序列(DFT),设x(n)长度为N的有限长序列，x(n)只在n=0到N-1有值，其他为0，可视为周期为N的周期序列xp(n)的一个主周期，把xp(n)看作是x(n)的周期延拓，即,同理，有限长序列X(k)可看作周期序列Xp(k)的主值序列，周期序列Xp(k)可看作有限长序列X(k)的周期延拓，即,由此可定义有限长序列的离散Fourier变换和逆变换,例:x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT,设变换区间N=16，则,FFT结果的物理意义,FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么

4、特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。,模拟信号,数字信号,ADC采样,采样频率,2信号频率,N个采样点,FFT,N个点的FFT结果,通常N取2的整数次方,假设,采样点数为N,采样频率为Fs,信号频率F,FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。,与原始信号的幅度的关系？,假设原始信号的峰值为A,FFT的结果的每个点(除了第1个点之外),模值=AN/2,相位=该频率下的信号的相位,第一个点就是直流分量，它的模

5、值就是直流分量的N倍,第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半份分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。,某点n所表示的频率Fn=(n-1)*Fs/N,频域分辨率(Fn所能分辨到频率):Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率，采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5H

6、z。,如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。,假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，则这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。,根据以上的结果，就可以计算出n点(n1，且nN/2)对应的信号的表达式为：,对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N,由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。,例：假设有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。,用数学表达

7、式就是如下：,式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。,以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。,按照上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。,我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。,我们来看看FFT的结果的模值如图所示,从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：,1点：512+0i2点：3点：50点：51点：332.55-192i52点：7

8、5点：76点：3.4315E-12+192i77点：-3.0263E-14+7.5609E-13i,很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。,接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：,1点：51251点：38476点：192,按照公式，可以计算出：,直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为：192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。,可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。,然后再来计算相位信息。直流信号

9、没有相位可言。,先计算50Hz信号的相位，atan2(-192,332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。,再计算75Hz信号的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是 180*1.5708/pi=90.0002。,根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。,总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号

10、是除以）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。,要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。,DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、

11、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,用DFT对信号进行谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。1.用DFT对连续信号进行谱分析 工程实际中，经常遇到的连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(j)也是连续函数。利用FFT对连续信号的频谱进行分析其实是一个对信号逐级近似的过程。,设连续信号xa(t)和持续时间Tp，最高频率为fc，xa(t)的傅里叶变换为,对xa(t)以采样间隔T1/2

12、fc(即fs=1/T2fc)采样得 a(t)=Xa(nT)。设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT,dt=T)得,显然，Xa(jf)仍是f的连续周期函数，a(t)和X(jf)如图(b)所示。对 X(jf)在区间0,fs上等间隔采样N点，采样间隔为F，如图(c)所示。参数fs、Tp、N和F满足如下关系式：,由于NT=Tp，所以,可得Xa(jf)的采样,0kN-1,令,则,用DFT计算连续信号频谱原理,理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图(a)、(b)所示。图中,用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。由于ha(t)

13、的持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s(即采样速度fs=4 Hz)，采样点数N=Tp/T=32。,已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足下式 fs2fc,此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。则 H(k)=TDFTh(n),0k31其中 h(n)=ha(nT)R32(n),由于谱分辨率F=fs/N，若保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为NT=Tp，T=f-1s，

14、只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下式进行选择:,例：对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信 号最高频率fc=2.5 kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果 fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点和最 小的记录时间是多少?,解：,因此TPmin=0.1 s，因为要求fs2fc，所以,为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求,例：在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50Hz 和300Hz的正弦信号组成的，该信号被一白噪声污 染，现对 该信号进行采样，采样频率为1000Hz。通过Fourier变

15、换对 其成分进行分析。,解：t=0:0.001:1.3;%时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生主要频率是50Hz和300Hz的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t);%在信号中加入白噪声 subplot(211);plot(f);%画出原始信号的波形图 Ylabel(幅值);Xlabel(时间);title(原始信号);y=fft(f,1024);%对原始信号进行离散Fourier变换，%参加DFT的采样点个数为1024 p=y.*conj(y)/1024;%计算功率谱密度 ff=1000*

16、(0:511)/1024;%计算变换后不同点所对应的频率值 subplot(212);plot(ff,p(1:512);%画出信号的功率谱图 Ylabel(功率谱密度);Xlabel(频率);title(信号功率谱图);,通过FFT实现信号降噪,%读入信号noisdoppload noisdopp;x=noisdopp;%信号长度为1024，所以不用扩展%直接做长度为1024的快速Fourier变换y=fft(x,1024);%求y的模平方pyy=y.*conj(y);%修改原坐标，512以后的高频段，因为这是高频信息f=1000*(0:512)/1024;%画出原信号的频谱plot(f,py

17、y(1:513);,例,由图可知，信号的能量主要集中在低频部分，在20Hz以后迅速衰减到零，50Hz以后几乎没有能量了。可以做一个简单的低通滤波,%使用不同宽度的滤波器对频谱进行滤波，%抑制频谱直接令其为零y1=y;y1(10:1014)=0;y2=y;y2(30:1004)=0;y3=y;y3(50:994)=0;%对经过滤波的频谱做Fourier变换，%得到相应的降噪信号xd1=real(ifft(y1,1024);xd2=real(ifft(y2,1024);xd3=real(ifft(y3,1024);,%画出降噪以后的波形figure(2)subplot(411);plot(x);t

18、itle(原始信号);subplot(412);plot(xd1);title(宽度为10的低通滤波器滤波后的信号);subplot(413);plot(xd2);title(宽度为30的低通滤波器滤波后的信号);subplot(414);plot(xd2);title(宽度为50的低通滤波器滤波后的信号);,%求各个降噪信号的能量比例per1=norm(xd1)/norm(x)=0.8710per2=norm(xd2)/norm(x)=0.9390per3=norm(xd3)/norm(x)=0.9542%求各个降噪信号与原信号的标准差err1=norm(xd1-x)=62.6615err2

19、=norm(xd2-x)=43.3881err3=norm(xd3-x)=36.8576,本质上说，Fourier变换将一信号函数分解为众多的频率成分，这些频率成分又可以重构原来的信号(Fourier逆变换)，这种变换是可逆的，且能保持能量不变。,但Fourier变换不是局部化时间-频率分析工具，因此在信号处理中有一些不足之处。,Fourier变换的特点与不足,(1)具有时频可分性，适于处理平稳信号,Fourier分析可将时域内复杂的信号转换为频域内具有简单形状的信号之和。,例 正弦波的叠加,N=1024;t=1:N;x1=0.1*sin(3*t);x2=sin(0.3*t);x3=10*si

20、n(0.03*t);,figure(1)subplot(3,1,1);plot(t,x1,LineWidth,2);subplot(3,1,2);plot(t,x2,LineWidth,2);subplot(3,1,3);plot(t,x3,LineWidth,2);,x=x1+x2+x3;figure(2)plot(t,x,LIneWidth,2);title(原信号x(t);,(2)缺乏时频局部性,利用DFT作信号分析就是通过在频域上作间隔为的等间隔划分的窗口对信号进行”观察”，而“观察”数据是时域上N点数的共同贡献，并不能告诉我们整个信号在时段L内是如何分布的。,但是在信号分析与应用中，

21、常常希望能获取频域和时域双重定域性，比如Dopper雷达信号处理，监测回波的到达时刻可提供目标的位置信息，而检测回波频率可提供目标的运动速度信息。此时需要“时频联合分析”，Fourier分析对此无能为力。,例如，取正弦信号x1=sint，以及阶跃信号x2，其在t=501510值为1，其它时刻值为0。如下图1-1所示。并分别对它们进行Fourier变换，如图1-2所示。由图可见，信号x1在时域的局部性较差，而频域的局部性好；而x2却在时域的局部性较好，而频域的局部性差。,(3)FT无法同时定位信号在时域和频域的突变部分,N=1024;t=1:N;x1=sin(t);x2(1:500)=0;x2(

22、501:510)=1;x2(511:N)=0;subplot(2,1,1);plot(t,x1,LIneWidth,2);subplot(2,1,2);plot(t,x2,LIneWidth,2);y1=fft(x1,1024);p1=y1.*conj(y1)/1024;ff1=1000*(0:511)/1024;y2=fft(x2,1024);p2=y2.*conj(y2)/1024;ff2=1000*(0:511)/1024;figure(2)subplot(3,1,1);plot(ff1,p1(1:512);subplot(3,1,2);plot(ff2,p2(1:512);,figur

23、e(2)subplot(3,1,1);plot(ff1,p1(1:512);subplot(3,1,2);plot(ff2,p2(1:512);,图1-1,图1-2,(4)分辨率不高，频谱点等距分布，不能很好地反映一些具有 突变的非平稳信号,(5)不利于实时分析,f(t)在整个时轴上不消失，要用其Fourier分析信号，需要计算f(t)过去与未来的所有时间信号,FFT进行谱分析所产生的问题,混叠现象Aliasing phenomenon,经采样后的序列x(nT)与原始的模拟信号xa(t)在时域和频谱方面的数学关系。(理想采样前后时域信号),对上式两端进行傅里叶变换。设,根据冲激函数的性质,最后

24、得到：,上式表明，采样信号的频谱是原模拟信号的频谱的无限次平移的叠加，每次平移的间隔为采样角频率s。模拟信号的频谱可以沿正负方向无限延伸，而采样信号的频谱限制在(-s/2,s/2)的奈奎斯特频率区间。,设模拟信号是带限信号，最高角频率为c,。,当cs/2时，则基带谱与把它做s的周期延拓形成的频谱就会发生重叠，称为混叠现象。这种情况下，再用理想低通滤波器对它进行滤波，得到的将是已失真的模拟信号。,对连续时间信号进行等间隔采样形成采样信号，采样 信号频谱频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期 进行周期性的延拓并叠加形成的。(2)设连续信号xa(t)为带限信号，其带宽为c。如果当 cs/2时候，那么

25、让信号x(t)通过一个增益为 T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以完全恢 复原始的模拟信号xa(t)。如果不满足上述条件，就会造成采样信号中的频谱混 叠现象，从这样的采样信号中不可能无失真地恢复原 连续信号。,选抽样间隔T足够小，可减少这种效应所引起的误差。,例：对于信号xa(t)=cos4t，它的理论频谱是Xa()=(-4)+(+4)，信号xa(t)带宽限制于 4rad/s。从理论上来看，只要采样周期T小于/4=0.785，就不会发生因时域采样引起的频 率混叠。若采样周期T大于0.785则会发生频率混 叠。,T=0.7，N=100，用FFT逼近连续时间周期信号的频谱，没有补零,可以用奈

26、奎斯特频率处的幅值特性来评价时域采样引起的混叠的严重程度。这里采样周期T=0.7。奈奎斯特频率为,所以当T=0.7时，奈奎斯特频率为/T4.5。可以观察图发现坐标为4.5处幅值还比较大。故T=0.7的时候混叠还比较严重。这是因为cos4t被截断，它的频谱就不再是有限带宽了。所以必须采取更小的采样周期，才可以降低混叠影响。,频谱泄漏spectrum leakage,实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，由于计算机的性能和内存的限制，必须截断成有限长序列。,RN(n)称为矩形窗函数。,对信号理想采样，并对其进行截断处理，相当于将理想采样序列与矩形序列相乘。时域的相乘对应

27、频域为两序列的傅里叶变换的卷积。,对于矩形序列RN(n)而言，其DTFT表示为,例如，对于序列x(n)=cos(0n)其频谱可以表示为,则x(n)经过加窗截断后，其频谱变为,由此可见，原始信号的真实频谱是=0+2l处的谱线，经过截断处理后，其频谱变为由上式所决定的以=0+2l为中心的函数所组成。即原来集中于0(一个周期看)的功率分散在一个与矩形序列长度N有关的较宽频率范围内，但总功率不变。,对信号进行截断处理，等价于在一个有限长矩形窗内看原始信号，因此称截断处理为加窗处理，这种处理不可避免产生频谱混叠现象。为减小频谱混叠，应尽可能减小旁瓣，可以用其他的具有较小旁瓣的窗函数代替矩形序列（或称为矩

28、形窗），其中包括哈明窗，汉宁窗，三角窗。,|2/N的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。,矩形窗函数的幅度谱,Cos(n/4)加矩形窗前后的频谱,例：对以下周期序列进行频谱分析：,选择FFT的变换区间N为8和16两种情况分别对以上序列进行频谱分析。,分析：X4(n)=cos(n4)的周期为8，故N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25处有1根单一谱线，如图(4a)和图(4b)所示。X5(n)=cos(n4)+cos(n8)的周期为16，故N=8不是其周期的整数倍，得到的频谱不正确，如图(5a)所示。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25和0.12

29、5有2根单一谱线，如图(5b)所示。,栅栏效应 Fence effect,由于xa(t)为非周期的连续信号，它的频谱是连续的，但将xa(t)采样，截断然后进行DFT分析时，得到的仅仅是 连续信号频谱上的有限个点，而有一部分频谱分量将被挡住，好像是通过栅栏观察频谱，这种现象称为栅栏效应。,DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，是一些离散的点，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被栅栏所拦住，不可能被我们观察到。,例如：505Hz正弦波信号的频谱分析来说明栅栏效应所

30、造成的频谱计算误差。设定采样频率fs=5120Hz，软件中默认的FFT计算点数为512，其离散频率点为fi=i.fs/N=i.5120/512=10i，i=0，1，2，N/2位于505Hz 位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz或510Hz处能量泄漏的值。若设 fs=2560Hz，则频率间隔df=5Hz，重复上述分析步骤，这时在505位置有谱线，我们就能得到它们的精确值。从时域看，这个条件相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。,栅栏效应的成因以及危害,栅栏效应是制约频谱分析谐波分析精度的一个瓶颈。栅栏效应在非同步采样的时候，影响尤为严

31、重。在非同步采样时，由于各次谐波分量并未能正好落在频率分辨点上，而是落在两个频率分辨点之间。这样通过FFT不能直接得到各次谐波分量的准确值，而只能以临近的频率分辨点的值来近似代替，这就是栅栏效应降低频谱分析精度的原因。,降低栅栏效应的方法,根据前面分辨率的讨论，减小栅栏效应可用提高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。具体方法如下：,(1)针对于有限长序列，为了克服栅栏效应，即检测出被 遮挡的频率分量，可以通过对序列尾部补零的方式进 行。这相当于栅栏效应的缝隙间隔缩短了，因此栅栏 效应有所改善。,(2)对无限长序列，可以增加取样点数，即

32、增加数据的有 效长度来提高分辨率来降低栅栏效应的影响。,例：模拟信号有三个幅值为1的正弦信号组成，频率分别为f1=1kHz,f2=2.5kHz,f3=10kHz,采样频率fs=10kHz，分析N=10，N=20时信号的频谱,采样过程满足采样定理，不会出现频谱混叠，由于频域采样密度M=N太小，出现明显的栅栏效应，如图示的幅度特性曲线的视觉效果很差，很难对分析结果作出评价。,为了改善视觉效果，在频域加密采样，相当于在时域补零。补零之信号长度为1024点后再做fft，视觉效果明显改善，可观察到个频率的频峰位置。,由频域分辨分析知，要区分1kHz和2.5kHz的频率分量，最小采样长度应10/(2.5-1)=6.6;要区分2.5kHz和3kHz的频率分量，最小采样长度应10/(3-2.5)=20;故N=10时，不能区分1kHz和2.5kHz两个谱峰,