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1、13.3 合情推理与演绎推理要点梳理1.合情推理主要包括 和.合情推理的过程,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,归纳推理,类比推理,基础知识 自主学习,（1）归纳推理：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理,称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由 到、由个别到 的推理.归纳推理的基本模式:，结论:dM，d也具有某属性.（2）类比推理：由 具有某些类似特征和其中 的某些已知特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比），简言之，类比推理是由 的推理.,a、b、cM且a、b、c具有,某属性,两类对象,一
2、类对象,另一类对象,特殊到特殊,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,部分,整体,一般,类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d；B:_；结论:B具有属性d.（a,b,c,d与a,b,c,d相似或相同）2.演绎推理：从 的原理出发，推出某个 的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.,具有属性a,b,c,一般性,特,殊情况下,一般,特殊,（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.（2）“三段论”可以表示为大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.用集合说明：即若集合M
3、的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.,基础自测1.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都 是180；张莉某次考试成绩是100分，由此推出全班同 学的成绩都是100分；三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和 是（n-2）180.A.B.C.D.解析 是类比推理，是归纳推理，是归纳 推理，所以为合情推理.,C,2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B 是两条平行直线的同旁
4、内角,则A+B=180 B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有 52人，由此得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 D.在数列an中，a1=1，（n2），由此归纳出an的通项公式 解析 两条直线平行，同旁内角互补 大前提 A与B是两条平行直线的同旁内角 小前提 A+B=180 结论,A,3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,，按这种规律 往下排，那么第36个圆的颜色应是()A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析 由图知，图形是三白二黑的圆周而复始 相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为365=7余1，所
5、以第36个圆应与第1个圆颜 色相同，即白色.,A,4.给出下列三个类比结论.(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则 有sin(+)=sin sin;(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中结论正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 解析 正确.,B,5.若数列an中，a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19，则a8=.解析 由a1,a2,a3,a4的形式可归纳，1+2+3+4+7=a8的首项应为第29个正奇数
6、，即229-1=57.a8=57+59+61+63+65+67+69+71,512,题型一 归纳推理 在数列an中,a1=1,an+1=nN*,猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由.根据已知条件和递推关系,先求出数 列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其 通项公式.解 在an中,a1=1,a2=所以猜想an的通项公式,思维启迪,题型分类 深度剖析,这个猜想是正确的，证明如下:,通过归纳推理得出的结论可能正确,也可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,猜想所得结论可用演绎推理给出证明,虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于
7、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.,知能迁移1 设 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结 论，并给出证明.解 并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等 于1.归纳猜想得:当x1+x2=1时,均有f(x1)+f(x2),证明：设x1+x2=1,题型二 类比推理 在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：那么在四面体ABCD 中，类比上
8、述结论,你能得到怎样的猜想？并说明 理由.首先利用综合法证明结论正确，然后 依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想 结论，并予以证明.,解 如图所示，由射影定理知AD2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=BCDC，,四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直,图,如图，连接BE交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF，在RtABF中，AEBF,图,类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法.例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等.当然类比时有可能出现错误，如：在平面内，直线a、b、c，若ab
9、，bc，则ac；在空间内，三个平面、，若,，但与之间可能平行，也可能相交.,知能迁移2 已知O是ABC内任意一点,连结AO、BO、CO并延长交对边于A,B,C,则 这是一道平面几何题，其 证明常采用“面积法”.请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明 在四面体VBCD中，任取一点O,连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点，,题型三 演绎推理（12分）（1）证明函数f(x)=-x2+2x在（-，1上是增函数；（2）判断函数f（x）在区间-5，-2上的单 调性，并加以说明.（1）证明本题的大前提是增函数的 定义，即增函数f(x)满
10、足:在给定区间内任取自 变量的两个值x1,x2，且x1x2,f(x1)f(x2),小前提 是函数f（x）=-x2+2x，x（-，1，结论是 满足增函数定义.（2）关键是看-5，-2与f（x）的增区间或减 区间的关系.,解（1）方法一 任取x1,x2（-，1,x10,f(x)0在x(-,1)上恒成立.6分故f(x)在(-，1上是增函数.8分,(2)f(x)在（-，1上是增函数，9分而-5，-2是区间（-，1的子区间，11分f（x）在-5，-2上是增函数.12分 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个
11、判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断：结论.,知能迁移3 已知函数（xR），（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明.解（1）对xR有-xR，所以f（x）是奇函数.（2）f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1,x2R，并且x1x2,x1x2,2x12x20,即2x1-2x20,又2x1+10,2x2+10.,f(x1)f(x2).f(x)在R上为单调递增函数.,思想方法 感悟提高 方法与技巧1.合情推理主要包括归纳推理和类
12、比推理.数学研 究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜 测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情 推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程概括为:,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,3.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊 情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推 理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明 主要通过演绎推理来进行.4.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的 结论不一定正确.但合情推理常常帮助我们猜测 和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理 形式都正确的前提下）.,失误与防范1.合情
13、推理是从已知的结论推测未知的结论，发 现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证 明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜 想或拓展依据.,一、选择题1.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a3=b3，则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“”C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(c0)”D.“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”解析 由类比推理的特点可知.,C,定时检测,2.（2009湖北文，10）古希腊人常用小石头在 沙滩上
14、摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，由 于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；,类似的，称图（2）中的1，4，9，16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378解析 设图（1）中数列1,3,6,10,的通项公式为an,其解法如下：a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n.故an-a1=2+3+4+n,而图（2）中数列的通项公式为bn=n2,因此所给的选项中只有1 225满足,C,3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数 集,C为复数集):“若
15、a,bR,则a-b=0a=b”类比推出“若 a,bC，则a-b=0a=b”；“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dQ，则a+b=c+d a=c,b=d”;若“a,bR，则a-b0ab”类比推出“若 a,bC，则a-b0ab”.其中类比结论正确的个 数是()A.0 B.1 C.2 D.3 解析 正确，错误.因为两个复数如果不全 是实数，不能比较大小.,C,4.（2009山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足 则f(2 009)的值 为()A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(
16、x)-f(x-1).f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是6.又f(2 009)=f(3346+5)=f(5),由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.,C,5.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图 中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()A.B
17、*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D,解析 由（1）（2）（3）（4）图得A表示|，B表示，C表示，D表示，故图（A）（B）表示B*D和A*C.答案 B,6.设 又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x),k=1,2,则f2 009(x)等于()A.B.x C.D.解析,D,二、填空题7.考察下列一组不等式：23+53225+252,24+54235+253,25+552352+2253,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的 特例，则推广的不等式可以是.注：填2m+n+5m+n2m5n+2n5m(
18、m,n为正整数)也对.,am+n+bm+nambn+,anbm(a,b0,ab,m,n0)(或a,b0,ab,m,n为正整数),8.（2009江苏，8）在平面上，若两个正三角形 的边长比为12，则它们的面积比为14，类 似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为 12,则它们的体积比为.解析 两个正三角形是相似的三角形，它 们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四 面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的 立方，所以它们的体积比为18.,18,9.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形,其中一个的 某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的 面积恒为.
19、类比到空间,有两个棱长均为a的正方 体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正 方体重叠部分的体积恒为.解析 在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等（如右图），即 OM=ON.,四边形OPAR是圆内接四边形，所以RtOPNRtORM，因此S四边形OPAR=S正方形OMAN=.同样地，类比到空间，如下图.两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为.,答案,三、解答题10.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的 相关性质.解 如图所示，由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC，于是类比平行四边形的性质,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，
20、,我们猜想：SABCD=S,S=S,S=S,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.,11.用三段论的形式写出下列演绎推理.(1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角 不相等，则两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；(3)0.332是有理数；(4)y=sin x（xR）是周期函数.解(1)若两个角是对顶角,则两角相等,(大前提)1和2不相等，(小前提)1和2不是对顶角.(结论),.,(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)正方形是矩形，(小前提)正方形的对角线相等.(结论)(3)所有的循环小数是有理数，(大前提)0.332是循环小数，
21、(小前提)所以0.332是有理数.(结论)(4)三角函数是周期函数，(大前提)y=sin x是三角函数，(小前提)y=sin x是周期函数.(结论),.,.,12.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原 点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么 kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲 线 写出具有类似特性的性质,并加以证 明.解 类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意 一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的 定值.,证明如下：设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则N（-m，-n）.因为点M（m,n）在已知双曲线上，,返回,
