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1、一、向量到子空间的距离,9.7 向量到子空间的距离,二、最小二乘法,向量间的距离,长度 称为向量 和 的距离，,基本性质,（i）,（ii）并且仅当 的等号才成立；,（iii）(三角形不等式),一、向量到子空间的距离,定义,记为,2.向量到子空间的距离,(1)设 为一固定向量，如果 与子空间 中,每个向量垂直，称 垂直于子空间 记作,如果 则,注:,(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.,如图示意，对给定，设 是 中的满足,的向量，则,对 有,因 是子空间，,则,由勾股定理,证明：,故,所以,二、最小二乘法,问题提出:,实系数线性方程组,（1）,即任意 都可能使,（2）,不等于零,可能
2、无解，,设法找实数组 使（2）最小,这样的 为方程组（1）的最小二乘解，,此问题叫最小二乘法问题.,最小二乘法的表示:,设,（3）,用距离的概念，（2）就是,由（3）,设则,要找 使（2）最小，等价于找子空间,中向量 使 到它的距离 比到,中其它向量的距离都短.,设,这等价于,（4）,即,这样（4）等价于,（5）,为此必,或,这就是最小二乘解所满足的代数方程.,已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种,化学成份 有关下列表中记载了某工厂生产,中 与相应的 的几次数值：,找出 对 的一个近似公式.,例题,把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势,近于一条直线因此我们决定选取 的一次式,来表达当然最好能选到适当的,使得下面的等式,解：,都成立.,实际上是不可能的任何 代入上面各式都发生,些误差.于是想找到 使得上面各式的误差的平方,和最小，即找 使,最小.,易知,最小二乘解 所满足的方程就是,解得,（取三位有效数字）.,即为,
