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1、1,8.1 向量及其线性运算,一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向角、投影,2,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,或,一、向量概念,在数学上，用有向线段来表示向量.,有向线段的长度表示向量的大小，,有向线段的方向表示向量的方向.,记作,向量的模：,向量的大小.,或,记作,模等于1的向量.,零向量：,模等于0的向量.,单位向量：,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,注：零向量的方向是任意的.,4,向量的夹角：,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值
2、.,向量 与 平行(共线)：,向量 与 垂直：,加法：,平行四边形法则,特殊地：若,同向,三角形法则,1、向量的加减法,二、向量的线性运算,反向,6,向量的加法的运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,负向量：,与 大小相等但方向相反的向量叫做 的负向量.记作,减法,根据三角形两边之和大于第三边，可知：,8,2、向量与数的乘法,9,数与向量的乘积满足的运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,10,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,解:,例1.设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,12,例2 试用向量方法证明：对角线
3、互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,13,例3 化简,解,14,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间直角坐标系,（1）空间直角坐标系,15,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,（2）坐标面与卦限,(3)向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,有序数,称为向量,的坐标，记为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例.,18,例2.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,及实数,得,即,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,五、向量的
4、模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,两点间的距离公式:,例1.在 z 轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?,离的点.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例2.已知两点,和,解:,求,25,解,原结论成立.,26,解,设P点坐标为,所求点为,2.方向角与方向余弦,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,(1)方向角,方向余弦的性质:,(2)方向余弦,29,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,30,解,31,32,空间一点在轴上的投影,3、向量在轴上的投影,设点,在u轴上的投影分别是,则在u轴上的有向线段,的值,称为,在u轴上的投影.,记为,空间一向量在轴上的投影,34,向量投影的性质：,证,35,性质1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,36,37,解,P13,19,38,对角线的长为,39,40,思考题,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,41,思考题解答,
