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1、第三节 向量的乘法运算,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、向量的混合积,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,故,2.性质,为两个非零向量,则有,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例1.求证以,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例2.已知两点,和,的模、方向余弦和
2、方向角.,解:,计算向量,方向角,解:,则,故,二、两向量的向量积,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,4.向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,由此进一步得到:,解:因为,所以,例5.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,解:（1）由a，b平行的充要条件，得,即,（2）由a，b垂直的充要条件，得,*三、向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2.混合积的坐标表示,设,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),例7.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例8.证明四点,共面.,解:因,故 A,B,C,D 四点共面.,作业,
