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1、第三章 地基中的应力,本章主要内容,3.1 概述3.2 土的自重应力3.3 自重应力系 有效应力原理3.4 基底接触应力分布及简化计算3.5 地基中的附加应力空间问题的解及其应用3.6 地基中的附加应力平面问题的解及其应用3.7 非均质和各向异性地基中的附加应力3.8 其他条件下地基中的应力计算,掌握：1.土中的应力状态及土中应力的研究方法;2.土中的自重应力，基底压力与基底附加压力的概念；3.土中自重应力、基底接触应力和地基附加应力的计算。,学习要求,在地基上建造建筑物，基础将上部荷载传给地基，使地基中的应力发生变化从而引起地基变形，使建筑物产生沉降和沉降差。若应力的变化不大引起的变形是建筑
2、物允许的，则不会产生危害；若外载荷在土中引起的应力过大，可能产生结构所不允许的变形或造成地基失稳而破坏。因此研究土体中的应力是研究地基变形与地基失稳的基础。建筑地基基础设计时，必须将强度、变形控制在允许的范围内，为此，基础设计时首先要计算地基应力。,3.1 概 述,概 述,支承建筑物荷载的土层称为地基,与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层,将持力层下面的土层称为下卧层,概 述,土力学中应力符号规定法向应力：压为正，拉为负,剪应力：,剪应力作用面上外法线n与坐标轴方向一致，,剪应力方向与坐标轴一致：负,剪应力方向与坐标轴相反：正,剪应力方向与坐标轴一致：正,剪应力方向与坐标轴相反：负,剪应力
3、作用面上外法线n与坐标轴方向相反，,概 述,土力学中应力符号的规定,材料力学,+,-,+,-,土力学,正应力,剪应力,拉为正压为负,顺时针为正逆时针为负,压为正拉为负,逆时针为正顺时针为负,概 述,自重应力由土体自身重量所产生的应力。,附加应力由外荷（静的或动的）引起的土中应力。,基底压力,附加应力,地基沉降变形,基底反力,基础结构的外荷载,概 述,土中的应力分为两种：,建筑物修建之前已经存在，也称为初始应力,建筑物修建之后的在自重应力基础上增加的应力,3.2 土的自重应力,1、竖向自重应力 单位面积上土柱的重量,式中：为土的天然重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m
4、。,土的自重应力,式中：为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。,地下水位以下的土：,地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加,土的自重应力,分布规律,自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；在土层分界面处和地下水位处发生转折。,均质地基,成层地基,土的自重应力,K0土的侧压力系数，它是土体在侧限条件下水平有效应力与竖向有效应力之比，K0与土层的应力历史及土的类型有关。见表，对一般地基K0 0.5左右。,无侧向变形（有侧限）条件下：,2、水平自重应力,土的自重应力,根据弹性力学中广义虎克定律：,cz,cy,cx,3、土
5、坝的自重应力,对于中小型坝，可以采用简化计算，即：忽略土体中剪应力的作用，认为土柱间相互独立，也就是任一点的自重应力等于其上部土柱的重量c=H。对于重要的土坝要进行有限元分析。,土的自重应力,例：某地基土由四层土组成厚度与容重如图，试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应力曲线。,土的自重应力,4,4,3,3,2,2,1,1,Z,O,h,4,=2.0m,h,3,=1.5m,h,2,=2.0m,h,1,=2.5m,1-1面,2-2面,3-3面,4-4面,土的自重应力,土的自重应力,地下水位下降，会引起原地下水位以地基土中的总应力，自重应力，有效应力分别怎么变化？,土的自重应力,地下水位下降引起
6、增大的部分,=-u,u=wh2,u=wh2,地下水位下降会引起增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。,土的自重应力,上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。,上部结构,基础,地基,建筑物设计,基底接触应力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力,3.4 基底接触应力及简化计算,基础条件,刚度形状大小埋深,大小方向分布,土类密度土层结构等,荷载条件,地基条件,影响基底接触应力分布图形的因素,基底接触应力及简化计算,一、基底接触应力实际分布柔性基础：刚度较小，基底接触应力与其上的荷载大小及分布相同；,基底接触应力及简化计算,特别地
7、，当中心受压时，基底接触应力分布为均匀分布。,刚性基础：刚度较大，基底接触应力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。,当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。,基底接触应力及简化计算,二、基底接触应力简化计算法1、中心荷载矩形基础:,F为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KNG为基础自重和基础台阶上的土重,基底接触应力及简化计算,当eL/6时，基底接触应力成梯形分布；,2、矩形面积单向偏心荷载下的基底接触应力,基底接触应力及简化计算,当e=L/6时，基底压力为三角形分布；,基底接触应力及简化计算,当eL/6时，基底压力pmin0,基底接触应力及简化计算,土不能承受拉应
8、力,基底压力合力与总荷载相等,压力调整,Fv,3、矩形面积双向偏心荷载,W为矩形底面的抗弯截面系数,（特例）,基底接触应力及简化计算,三、基础底面附加应力1、基础在地面上基础底面附加压力即为基础底面接触应力。2、基础在地面以下埋深为d基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础 底面下真正施加于地基的应力 式中：p0为基础底面的平均附加应力，kpa；p0为基础底面的平均接触应力，kpa；为基地处的自重应力，kpa；d为基础埋深，m；为基础底面以上土的加权平均重度，kpa，。,基底接触应力及简化计算,竖直集中力,矩形内积分,线积分,矩形面积竖直均布荷载,矩形面积竖直三角形荷载,竖直线布荷载
9、,宽度积分,条形面积竖直均布荷载,圆内积分,圆形面积竖直荷载,布森涅斯克解,水平集中力,矩形内积分,矩形面积水平均布荷载,三维问题（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下）,二维问题（线性荷载，条形荷载，三角形及梯形荷载）,一维问题（荷载均布于无限大的面积上，变形仅发生在一个方向上的，如自重应力）,3.5 地基中的附加应力空间问题的解及其应用,假定地基：半无限空间体，线性均匀各向同性的弹性材料,M,一、布森涅斯克解,(1)布森涅斯克解,M(x、y、z)点的应力：,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,其中=(r/z)称为集中荷载作用下的应力系数具体的 值见教材p79表,地基中的附加应力空间问题的解及
10、其应用,（）,4.在某一水平面上z=常数，r=0,a 最大，r，a减小，z减小,5.在某一圆柱面上r=常数，z=0,z=0，z，z先增加后减小,1.z应力呈轴对称分布,2.z:zy:zx=z:y:x,竖直面上合力过原点，与R同向,3.P作用线上，r=0,z=0,z，z，z=0,(2)集中力作用下弹性半空间中z的分布,（3）应力泡 将半空间内z相同的点连接起来就得到z的等值线，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。,集中力作用下z的等值线,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,P,P,1,2,z1,+,z2,z1,z2,（4）叠加原理,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,等代荷载法基本解答的初
11、步应用,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,二、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力,角点下的应力 以矩形荷载面任一角点为坐标原点O，如右图所示。,矩形均布荷载角点下的附加应力,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角点法计算任意点处的应力。,在OACD上积分，即得矩形均布荷载p0在M点引起的附加应力z：c=f(m,n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系数。c可从教材P83表查得。L为长边，b为短边,(3.5.6),地基中的附加应力空间问题的解及其应用,表,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,2.任意点的应力 角点法 角点法：利用
12、角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中任意点的附加应力的方法。,z=(C+C)p0,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,此时，实际荷载面abcd等于两个大的荷载面ogae()、oebf()之和减去两个小的荷载面ogdh()、ohcf()，所以：z=(C+C-C-C)p0,此时，实际荷载面abcd等于新的大荷载面ohbe()减去两个长条荷载面ogce()、ohaf()后，再加上公共荷载面ogdf()，所以：z=(C-C-C+C)p0,如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心
13、O点下及A点下、H点下z1m深度处的竖向附加应力。,例题,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,H,A,O,G,F,E,Q,b,a,d,c,（2）求O点下1m深处地基附加应力zo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得 lb=2 1=2 z b=11=1查表得ac=0.1999，所以 zo=4 ac p0=40.1999 131 104.75（kPa）,（3）求A点下1m深处竖向附加应力zA。,H,A,O,G,F,E,Q,b,a,d,c,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,【解】（1
14、）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件 p0=p0d140180.5131kPa,A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数ac相同。根据l，b，z的值可得 lb=2 2=1 z b=12=0.5查表应用线性插值方法可得ac=0.2315，所以 zA=2 ac p0=20.2315 131=60.65（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力zH。H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。zH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 lb=2.52=1.25 z
15、 b=1/2=0.5查表，利用双向线性插值得ac=0.2350,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 lb=20.5=4 z b=10.5=2查表，得ac=0.1350，则zH可按叠加原理求得：zH=（20.2350 20.1350）131=26.2（kPa）,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,三、矩形面积上作用竖直三角形荷载,设竖直荷载沿矩形面积的 b边呈三角形分布，沿 l 边荷载分布不变，最大荷载强度为p0，取荷载强度为零的边上的角点1为坐标原点，如右图所示。则荷载面上任意微元dA=dxdy上的等效集中荷载为,矩形面积上作用三
16、角形分布时角点下的附加应力,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点引起的竖向附加应力dz为：将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度z处所引起的竖直附加应力z为 z=tc p0 式中 tc=,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,tc为m=l/b，n=z/b的函数，称为矩形面积竖直三角形荷载角点下的附加应力系数，其中 tc可由教材P88表查得。注意：b为荷载变化方向的边长，l为荷载不变方向的边长。,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,四、圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力设圆形面积基底的半径为ro，其上作用
17、均布荷载p0，圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力z为,式中,查表,圆形面积作用竖直均布荷载时的应力分布系数,为应力计算点到z轴的水平距离,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,3.6 地基中的附加应力平面问题的解及其应用,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,一、弗拉曼解及其应用,为了求解条形荷载作用下地基中的附加应力，先来介绍线布荷载作用下的解答。将y 轴置于线荷载作用线上，如右图所示。根据布森涅斯克解，某微段的等效集中荷载dP=dy在M点引起的竖向应力为：,竖直线荷载作用下地基中的 附加应力分析,在实际工程中当荷载面积的长宽比l/b10时，可以看作条形荷载，按平面问题求解。,地基中
18、的附加应力平面问题的解及其应用,式中：R0为M点至坐标原点的距离，,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,条形基底均布荷载作用下地基附加应力,查表,二、条形面积上的竖直均布荷载,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,三、条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zpmdz/b应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：zaspm,式中：as为条形基底三角形分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是n=x/b，m=z/b的函数。,注意：（1）原点在尖点（2）X轴正
19、向与荷载增大方向一致,查表,地基中的附加应力平面问题的解及其应用,判断题：附加应力大小只与计算点深度有关，而与基础尺寸无关（）基底附加压力是基底压力的一部分（）完全饱和土体，含水量w=100%（）根据达西定律，渗透系数越高的土，需要越大的水头梯度才能获得相同的渗流速度（）,有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平均重度为21kN/m3，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m、路基中线右侧2.0m的A点处附加应力是多少？,解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式与路基的断面形式相同，如图 其中：p=h=212=42kPa 将荷载分为三块，如图，分别建立坐标系，对每 一块荷载
20、A点引起的竖向应力计算如下：对于1，有：x/b=7.5/3=2.5，z/b=2.5/3=0.833,查表，有：,对于2，有：x/b=2/5=0.4，z/b=2.5/5=0.5，查表，有：对于3，有：x/b=3.5/3=1.17，z/b=2.5/3=0.833，查表，有：所以得：,3.7 非均质和各向异性地基中的附加应力,前述计算分析中，均假设土体为均质、各向同性的线弹性体。实际工程的地基经常是由具有不同压缩性土质形成的成层地基，也有一些土层随深度变化，土的变形模量明显增加且在土层水平方向与竖直方向明显不同，这时附加应力的分布将会有所变化，计算中应考虑其影响。,（一）双层地基的影响,土层的松密、
21、软硬差别常常是很大的。如在软土地区常可遇到一层硬粘土或密实的砂覆盖在较软的土层上；在山区，常可见厚度不大的可压缩土层覆盖于绝对刚性的岩层上。这种情况下地基中的应力分布显然不会同前面分析的均质土层一样。,非均质和各向异性地基中的附加应力,(a)刚性下卧层（上软下硬）（出现应力集中）(b)软弱下卧层（上硬下软）（产生应力扩散）,图 双层地基中的竖直应力z,非均质和各向异性地基中的附加应力,（二）变形模量随深度增大的地基,实际地基中土的变形模量E0 随深度的增加而增大，特别是砂土。这一特点是土体在沉积过程中形成的。弗罗利克对集中力作用下这种地基中的附加应力进行了研究，提出的半经验公式：,非均质和各向
22、异性地基中的附加应力,式中：为应力集中因数，对粘土或完全弹性体，这时与（）相同；对于硬土，,（三）各向异性地基 沃尔夫在假定地基竖直和水平方向的泊松比相同，但变形模量不同的条件下，导得均布线荷载下各向异性地基的附加应力为,总结,一、几个重要概念自重应力，基底接触应力，地基附加应力二、土中应力符号的规定,三、竖向自重应力和水平自重应力的计算,K0土的侧压力系数,四、基底接触应力的简化计算中心荷载矩形基础 单向偏心荷载矩形基础双向偏心荷载矩形基础,eL/6,e=L/6,eL/6,五、地基中附加应力的计算（空间问题）,(一)布森涅斯克解,(二)矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力,角点下的应力,2.任意点的应力 角点法,z=(C+C)p0,地基中的附加应力空间问题的解及其应用,z=(C+C-C-C)p0,z=(C-C-C+C)p0,(三)矩形面积上作用竖直三角形荷载在零角点下任意深度z处所引起的竖直附加应力z为 z=tc p0(四)圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力,五、地基中附加应力的计算（平面问题）,（1）弗拉曼解及其应用（2）条形面积上的竖直均布荷载,（3）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力,zaspm,n=x/b，m=z/b的函数,End of Chapter 2结束,
