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1、均值不等式的实际应用,教学重点：利用均值不等式解决实际问题教学难点：实际问题数学化（建模）,教学重点和难点,利用均值不等式求函数的最值,教学关键,复习旧知识,均值不等式a2+b22ab，a+b2 2ab(当且仅当a=b时上述各式取等号)；a3+b3+c33abc，a+b+c3 3abc(当且仅当a=b=c时上述各式取等号)。,利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内。,和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值,例1：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90，再焊接
2、而成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？,解：已知量：边长为60 cm的正方形铁皮。需设量：四角截去的小正方形的边长为：x cm 最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,60cm,60cm,xcm,60-2x,x,60-2x,xcm,60-2x,60-2x,所求几何体的体积V=（60-2x）（60-2x）x,目标函数：V=(60-2x)(60-2x)x,3,=2(20)3=16000(cm)3,当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax=16000(cm)3答：截去小正形的边长为10cm时，水箱容积最大，最大容积为16000(cm)3,=2(30-x)(30-x)
3、2x,例2:一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为50厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。,80cm,50cm,解：已知量：长为80 cm，宽为50cm 需设量：截去小正方形的边长为：x cm 最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,xcm,xcm,80-2x,50-2x,此题若按例1的解法来解 当且仅当 80-2x=50-2x,这样的x不存在！,目标函数：V=(80-2x)(50-2x)x,解:V=(80-2x)(50-2x)x=2(40-x)(50-2x)x,=18000(cm)3,当且仅当40-x=50-2x=3x即小正
4、方形边长x=10时，Vmax=18000(cm)3,解法：V=4(40-x)(25-x)x=(40a-ax)(25b-bx)x(4/ab),解得a=1/3，b=2/3，x=10,V=18(40/3-x/3)(50/3-2x/3)x18(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3 3=18000当且仅当40/3-x/3=50/3-2x/3=x即x=10时 V max=18000(cm)3,若满足,由同学们来完成下列练习：用总长29.6m的钢条制做一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长1m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。,解：已知量：长方体的12条棱长之
5、和为29.6 m，需设量：长方体的底面两边长为：x 和(x+1)m，高为hm最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,而4x+4(x+1)+4h=29.6 即 h=6.4-2x V=x(x+1)(6.4-2x),x+1,x,h,目标函数：V=x(x+1)h,V=x(x+1)(6.4-2x)=ax(bx+b)(6.4-2x)/ab,其中 a，b是待定的正常数且满足 a+b=2 且ax=bx+b=6.4-2x 解得 a=1.2，b=0.8，x=2此时 V=1.2x(0.8x+0.8)(6.4-2x)/0.96(1.2x+0.8x+0.8+6.4-2x)/3 3/0.96=(7.2/3)3/0.96=
6、14.4m 3答：当高h=6.4-22=2.4m时，Vmax=14.4m3,例3：制做圆柱形的罐头盒，如果容积一定，它的尺寸怎样取，所用的材料最少？,分析：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？,分析出来实质是圆柱体的表面积,已知量：体积 V（假定为定值）需设量：底半径r，高 h 最终要研究的量：表面积 S=两个底面积+侧面积,2r,h,且V=r2 h,目标函数：S=2r2+2r h,作业,如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底半径与上底半径之比为k（0k1）的内接圆台，试问：当x为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积。,课堂小结,1解应用题的方法与步骤2均值不等式求函数的最值,解实际应用题的步骤,1、弄清已知量、确定目标变量。2、根据题设建立目标函数。3、选定求解方法。,再见,
