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1、第四章,浙江大学数学建模 实践基地,基于线性代数与 差分方程方法的模型,电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能，这就十分自然地提出了一个问题，对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍的几个模型就是基于这种想法建立起来的。,4.1 状态转移问题,所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何具体实现？,在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，而在彼岸时则取 为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。,（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1
2、,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：人在此岸 人在对岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1
3、，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。,规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。,在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。,我们可以如下进行分析：（第一次渡河）,（第二次渡河）,以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。,例4.2 夫妻过河问题,这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据题意，状态应能反
4、映出两岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别,问题归结为由状态(3,3)经奇数次可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化 为(0,0)的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用作图方法来求解。,在HW平面坐标中，以“”表示可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到 达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移 动1-2格而落在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移 动1-2格而落在一个可取状态上。为了区分起见,用红箭线表示奇数次转移，用蓝箭线表示第偶数 次转移,下图给出了一种可实现的方案,故,这三对夫妻是可以过河的。假如按这样的方案过 河,共需经过十一次摆渡。不
5、难看出,在上述规则下,4对夫妻就无法过河了,读者可以自行证明之.类似可以讨论船每次可载三人的情况,其结果 是5对夫妻是可以过河的,而六对以上时就 无法过河了。,4.2 密码的设计，解码与破译,早期密码,替代密码 移位密码 代数密码,1.代替法密码,明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ,密钥常用一密钥单词或密钥短语生成混淆字母表。密钥单词 或密钥短语可以存放在识别码、通行字或密钥的秘密表格中。,混合一个字母表，常见的有两种方法，这两种方法都采用了一个密钥单词或一个密钥短语。,明文字母表 ABCDEFGHI
6、JKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 CONSTRUABDEFGHIJKLMPQVWXYZ,明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表 KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ,得：cugmyoahpznbiqsdjvrtekwrflx按照此方法产生的字母表称为 混淆字母表。,为增加保密性，在使用代替法时还可利用一些其他技巧，如单字母表对多字母表、单字母对多字母、多重代替等。,2.移位密码体制,另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的，故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，
7、如用将字母表向右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得：,明文字母表：ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表：DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC,例如，对明文：THE HISTORY OF ZJU IS MORE THAN ONE HUNDRED YEARS.以7列矩阵表示如下：THEHISTORYOFZJUISMORETHANONEHUNDREDYEARS,再按事先约定的方式选出密文。例如，如按列选出，得到密文：touthyhrihueeysanahomndrifoorsszrnetjeed,使用不同的顺序进行编写和选择，可以得到各种不同的路线加密体
8、制。对于同一明文消息矩阵，采用不同的抄写方式，得到的密文也是不同的。,当明文超过规定矩阵的大小时，可以另加一矩阵。当需要加密的字母数小于矩阵大小时，可以在矩阵中留空位或以无用的字母来填满矩阵。,例如，用密钥单词 construct对明文MATHEMATICAL MODELING IS USEFUL加密：CONSTRUCT 1 4 3 675 9 28MATHEMATICALMODELINGISUSEFU L 按混淆数的顺序选出各列，得到密文：MCNLTLFTLIAAGMDSHMSEOSIIUAEE,对窃听到的密文进行分析时，穷举法和统计法是最基本的破译方法。,在上述两种加密方法中字母表中的字母
9、是一一对应的，因此，在截获的密文中各字母出现的概率提供了重要的密钥信息。根据权威资料报道，可以 将26个英文字母按其出现的频率大小较合理地分为五组：,t,a,o,i,n,s,h,r;e;d,l;c,u,m,w,f,g,y,p,b;v,k,j,x,q,z;,按频率大小 将双字母排列如下：th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha,nd,ou,ea,ng,as,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of使用最多的三字母按频率大小排列如下：The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth,统计
10、的章节越长，统计结果就越可靠。对于只有几个单词的密文，统计是无意义的。,以上对英语统计的讨论是在仅涉 及26个字母的假设条件下进行的。实际上消息的构成还包括间隔、标点、数字等字符。总之，破译密码并不是件很容易的事。,2.希尔密码,1929年，希尔利用线性代数中的矩阵运算，打破了字符间的对应关系，设计了一种被称为希尔密码的代数密码。为了便于计算，希尔首先将字符变换成数，例如，对英文字母，我们可以作如下变换：,ABC DE FG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
11、 20 21 22 23 24 25 0,用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得,得到密文 JXCPI WEK,希尔密码系统的解密依赖于以下几把钥匙（key）：,（希尔密码的破译）,解：前两组明文字 母de和ar 对应的二维向量是：按同一对应整数表，密文中对应这两组的二维向量是：,由此可得,，对应上例则有,利用这一逆矩阵，可对截获密文进行解密，破译出的电文是Dear Mac God forbid.,RSA公开密钥体制,虽然只要能解密的密文，从理论上讲都是可破译的，但如果破译所需要 的工作量过大，要求花费的时间过 长，以致超过了保密期限，则该密 码系统应当被认为是安全可靠的。,不难证明：若
12、p，q为两个相异素数，n=pq，则(n)=(p-1)(q-1)令p,q为随机选取的两个大素数（大约为十进 制100位或更大）,n=pq,n是公开的，而p,q则是保密的。仅知道欧拉函数(n)=(p-1)(q-1)，但如果不知道因式分解就不能用这个公式计算。随机选取一个 数e，e为小于(n)且与它互素的正整数。利用辗转相除法，可以找到整 数d和r，使 ed+r(n)=1即 ed 1(mod(n),数n,e和d分别称为模、加密密钥和解密密钥。数n和e组成公开密钥的加密密钥，而其余的 项p,q,(n)和 d 组成了秘密陷门。很显然，陷门信息包含了四个相关的项。,(mod n),要解密消息，取每一个加密
13、 块c(I)并计算(mod n)由公式ed 1(mod(n)我们有ed=1-r(n),因此(mod n)其中r为某一整数。这里利用 了欧拉定理:(n)1(mod n)根据以上公式从密文恢复出了明文。,设使用者取 定 p=47，q=59,则 N=pq=2773,(n)=(p-1)(q-1)=2668.取素数e=17，显然它与(n)互素，加密者知 道p、q的值，易得出d=157。将(e,n)=(17,2773)作为公开密钥发布；严守机密的秘密密钥是(157,2773).现在有人要向此使用者传送一段（英文）明文信息，例如：I love zhejiang university将这段文字转换为数字，不计
14、大小写，每两个词之间为一个空格符号，空格符对应数 字00，每个英文字母对应表征其在字母表中位置的两位数字，例如：A对应01，B对应02，Z对应26，等等。再从头向后，将每四位数字划归一组，不足时补充空格。如此得到以下十三组数字：0900 1215 2205 0026 0805 1009 0114 0700 2114 0922 0518 1909 2025 每一组数字视为一个数，用公开密 钥(17,2773)对其加以变换。,以第一个数为例，由于n=2773,比这里任何可能出现的四位数字均大，故只需计算每一数字在 模2773下的17次幂。我们有 900 1510(mod 2773).在以上整个过程
15、中，为减少计算量应随时注意取模。这样900对应的密码是1510。以这一方法得到的密文电码是：1510 0417 1524 1445 0542 2692 1684 0761 1644 2488 1787 1877 1672解密过程与此类似，只不过使用密 钥(157,2773)，直接计算很烦琐，但用计算机处理这一问题却非常简单。本例中将四位数字划分为一组，是为了使每组的数字不超过n=2773.当使用一个很大 的n时，每次完全可以处理一个位数更多的数码组。只要相应的整数小于n即可。,4.3 马氏链模型,随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人
16、们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态si(i=1,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。,例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示,相应的转移矩阵 为：,且Sj
17、+1=SjM,首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）（I,j=1,n）（2）（i=1,n）这样的矩阵被称为 随机矩阵。,常染色体遗传模型,下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如 表所示。,双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。,（a）假设：令n=0,1,2,。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x(n)为第n代植物的基因型分布：,当n=0时,表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）,（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n1代的
18、AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n1代的aa型与AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2时,即,类似可推出,cn=0,显然有（ii）第n代的分布与 第n1代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。,(4.2),(4.3),(4.4),将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得,根据假设(I)，可递推得出：,对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为,其中,（注：这里M为转移矩阵的位置）,(4.5),由（4.5）式递推，得,(4.6),（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系
19、。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角库D，使 M=PDP-1因而有 Mn=PDnP-1,n=1,2,其中,这里，是矩 阵M的三个特征值。对于(4.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0,因此,所以,通过计算，P-1=P，因此有,即,所以有,即在极限的情况下，培育的植物都 是AA型。若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如 表所示。,M的特征值为,通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3：,因此,解得：,，所以,因此，如果用
20、基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。,现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。,（b）建模由假设（iii），从第n1代到第n代基因型分布的变化取决于方程,所以,，其中,如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布为,解 将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得,计算,=,(4.8),，,隐性患者逐渐消失。从(4.8)式中可知,每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1/2。,(4.9),（c）模型讨论研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机
21、结合的情况下可以 把（4.9）式改写为,(4.10),（群体的近交系数）设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如，某村镇共有2000对婚配关系，其中有59对表亲，22对半堂亲 和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为,现在，我们来研究近亲结 婚会产生什么结果。,设某基因对由 A、a两种基因组成，出 现A的概率为p，出现a的概率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女 为AA、Aa及aa型的概率分别 为p2、2pq及q2。对近交系数 为F的群体，根据条件概率公式，后代出 现aa型基因对的概率为,比较存在近亲交配的群体与不允许近亲交配(F=0)的群体，令,若a为某种隐
22、性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产 生遗传病（aa型）的概率增大了，且F越大，后代患遗传病 的概率也越大。,同样，后代出现AA型基因对的概率 为p2+Fpq。Aa型不可能 是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-F)。,例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子 aa型疾病（a为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率，求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。由前，表兄妹结婚的近交系数为 1/16,故其子女发生该疾病的概率为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大了大 约7.19倍，由此可见，为了提高全
23、民族的身体素质，近亲结婚是应当 禁止的。,(4.11),其中,从（4.11）式中易得,经过计算，矩阵 M的特征值和特征向量为,M对角化，则有,(4.12),其中：,即,即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。,根据定义3，例4.7中状态S4即为一吸收链,具有r个吸收状态，nr个非吸收状态的吸收链，它的nn转移矩阵的标准形式为,（注：非标准形式可经对状态重新编号）,其中Ir为r 阶单位阵，O为rs零阵，R为sr 矩阵，S为ss矩阵。令,上式中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过n步转移后，处于s个非吸收状态的概率。在吸收链中，令F=(IS)-1，称F
24、为基矩阵。,设甲胜一题的概率 为p，（0p1），p与两队的实力有关。甲队得分有5种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态S0，S1，S2，S3，S4，其中S0和S4是吸收状态，a1，a2和a3是非吸收状态。过程 以S2作为初始状态。根据甲队赢 得1分的概率为 p，建立转移矩阵：,S 0 S 1 S 2 S 3 S 4,将上式改记为标准形 式T：,其中,计算 F：,令q=1-p，则,因为a2是初始状态，根 据定理4，甲队获分为1，2，3分的平均次数为,=,=,根据定理5，以a2为初始状态，甲队最终获胜的平均转 移欠数为,。又因为，,根据定理6，甲队最后获胜的概率,。,4.4 差分方程建模,
25、则被称为方程对应的 齐次线性差分方程。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成,（4.15）,的形式，其对应的齐次方程为,（4.16）,也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。此规律对于（4.15）也成立。,方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程,（4.17）,(C1,Cn为任意常数),，,为任意常数，i=1,2k。,例4.13 求解两阶差分方程,记t时段初市场上的供应量(即上 一时段的生产 量)为xt，市场上该商品的价格 为Pt。商品成交
26、的价格是由需求曲线决定的，即,x,但是，如果供应曲线和需求曲线呈图中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。,图和图的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定 性呢？,现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、需曲线的局部性态。为此，用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。,设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为,解得下一时段的商品量,（4.21）将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得,（4.19）但t+1时段的商品量则不再为,由（4.19）式得,（4.22）
27、,（4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为,其特征根为,，则,此时差分方程（4.22）是不稳定的。,由线性差分方程稳定的条件，当r2即b2a时（4.22）式是稳定的，从 而M*是稳定的平衡点。,再生产的投资水 平It取决于消费水平的变化量，设,易见，此时关系式（4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式,求得 y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,。易见,从表中可以看出，该商品在 前5年相同季节里的销售量呈增长趋势，而
28、在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量,由,求得 a=1.3，b=9.5。根据 预测第六年起第一季度的销售量 为=17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第t年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：,最小，解线性方程
29、组：,即求解,得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为,虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值 y6=21，y7=19，等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。,为此，
30、将季度编号 为t=1,2,20，令,最小,求解线性方程组,即求解三元一次方程组,解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程,（t21）,根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。,建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问题的Logistic模型,可导出一阶差分方程,（4.25）,(4.25)式中右端的因子 常被称为阻尼因子。当PtN时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，若PtN，它将使种群增长速度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负增长。,（4.25）式可改写为,（4.26）,记,于是(4.26)式又可改写为,（4.27）,虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（4.27）有两个平衡点，即x*=0和。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。例如，对，讨论 在x*处的线性近似方程,若当，则平稳点 是不稳定的，（这与对 一切a，p*=N均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。,
