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1、一、样本与样本分布,二、抽样分布,下页,第六章 数理统计的基本概念,概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.概率论是在(总体)X分布已知的情况下，研究X的性质及统计规律性 数理统计是在(总体)X分布未已知(或部分未知)的情况下，对总体的分布作出推断和预测.数理统计的研究方法 通过从总体抽取部分个体(样本)，通过对样本的研究，对总体作出推断或预测是一种由部分推测整体的方法,下页,数理统计概述,数理统计的研究方法流程图,数理统计的研究内容 数理统计内容丰富，应用广泛本书介绍了数理统计初步知识：抽样分布；参数估计；假设检验；方差分析；回归分析.,下页,总体X,样本
2、,统计量,对总体X作出推断,采集数据,加工处理,对统计量分析,6.1 样本与样本分布,一、总体、个体与样本,总体：,研究对象的全体称为总体(母体).,个体：,组成总体的每个研究对象称为个体.,总体分为有限总体和无限总体.,注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的某种数量指标的全体就是总体.,该批灯泡寿命的全体就是总体.,下页,或，研究对象的某项数量指标的值的全体，称为总体.,由于个体的出现是随机的，所以，,总体是一个随机变量，,用X表示.,样本：,从总体 X 中按一定的规则（准备）抽出的个体的,样本容量：,样本中所含个体的个数称
3、为样本容量，用 n,根据 n 的大小样本有大样本、小样本之分.,抽样：为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为 抽样.,下页,全部称为样本,用 X1,X2,Xn 表示.,表示.,样本值：一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.,下页,样本：,从总体 X 中按一定的规则（准备）抽出的个体的,全部称为样本,用 X1,X2,Xn 表示.,简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点：,由简单随机抽样抽得的样本 X1,X2,Xn,简单随机样本：,显然，样本就是来自总体X的 n 个相互独立
4、的且与总体同分布的随机变量X1,X2,Xn.可看成 n 维随机向量(X1,X2,Xn).,简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样.,独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,代表性：X1,X2,Xn中每一个与总体X有相同的分布.,下页,称为简单随机样本.简称样本.,二、统计量,统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布.把统计量的概率分布称为抽样分布.,设(X1,X2,Xn)为来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是一个不含任何未知参数的连续函数，称 g(X1,X2,Xn)为统计量.,下页,设(X1,X2
5、,Xn)为来自总体X的简单随机样本.,式中的n1称为S2的自由度(式中含有独立变量的个数)，S 称为样本标准差，又称为标准误.,3.样本矩：,K 阶原点矩：,K 阶中心矩：,1.样本均值:,下页,三、样本的数字特征,2.样本方差:,一、的分布,设总体X的分布形式未知，E(X)=m，D(X)=s 2，,(X1,X2,Xn)为X的一样本.则X1,X2,Xn独立同分布且 E(Xi)=m，D(Xi)=s 2(i=1,2,n),若总体XN(,2)，则,若总体XN(0,1)，则,则,特别，,下页,6.2 抽样分布,例1设总体XN(12,4)，抽取一个样本(X1,X2,X5),求（1）P 13；（2）P|-
6、12|0.5.,解：,XN(12,4)，N(12,4/5).,（1）P 13,（2）P|-12|0.5,=1-(0.56)-(-0.56)=2-2(0.56)=0.5754,下页,的点u为N(0,1)分布的上(右)侧分位点.,二、标准正态分布的分位点,称满足条件,记-ua=u1-a(可把-ua理解为下(左)侧分位点).,由于,设XN(0,1)，对给定的a(0a1):,即,下页,PXua=a，,PXu0.05=0.05,即 PXu0.05=0.95,查表得：u0.05=1.645.,PXu0.01=0.01,即 PXu0.01=0.99,查表得：u0.01=2.33.,例如：,295页,二、标准
7、正态分布的分位点,称满足条件,由于,设XN(0,1)，对给定的a(0a1):,下页,P|X|u0.05/2=0.05,即 PXu0.05/2=1-0.05/2=0.975,查表(295页)得：u0.05/2=1.96.,例如：,的点 为N(0,1)分布的双侧分位点.,所以,P|X|u0.01/2=0.01,即 PXu0.01/2=1-0.01/2=0.995,查表得：u0.01/2=2.575.,1.定义,设 XN(0,1),(X1,X2,Xn)为X的一个样本,令,则 服从参数(自由度)为 n 的 分布.,2.c 2 分布的概率密度,下页,三、c 2 分布,这里，E(c 2)=n,D(c 2)
8、=2n.,注：以n=4时的图像代表密度函数.,记作,1 与 S 2 相互独立；,2,(2)若,且它们相互独立，则,下页,3.c 2 分布的性质,(1)若(X1,X2,Xn)为正态总体N(m,s 2)的一个样，则,称满足,即,的点为c 2 分布的上(右)侧分位点.,例如：a=0.1，n=25，查 c 2 分布表(297页)得,下页,4.c 2 分布的分位点,设c 2c 2(n)，对给定的a(0a1):,问题：c 21-a 分位点怎么查表？,称满足,的点为c 2 分布的双侧分位点.,例如：a=0.1，n=25，查 c 2 分布表(297页)得,下页,4.c 2 分布的分位点,设c 2c 2(n)，
9、对给定的a(0a1):,显然,例2设总体XN(0,0.32),n=10,求,解：,X/0.3N(0,1)，,下页,所求概率为,四、t 分布,为服从自由度为 n 的 t(Student)分布,记作 t t(n).,2.t 分布的概率密度,这里,设XN(0,1),Y c 2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量,下页,1.定义,证：,且与 相互独立，,故,下页,3.服从t 分布的统计量,定理1 设(X1,X2,Xn)为正态总体N(m,s 2)的一个样本，则有,证：依题意知,由于X与Y相互独立，,即,所以 与 相互独立，,下页,定理2 设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体N(
10、m1,s 2)和 N(m2,s 2)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,从而有,证：得,下页,定理2 设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体N(m1,s 2)和 N(m2,s 2)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,于是,4.t 分布的百分位点,设t t(n)，对给定的a(0a1):,称满足条件,Ptta(n)=a,即,的点ta(n)为 t 分布的上(右)侧分位点.,下页,t0.05(15)=1.7531.,例如：a=0.05，n=15，查 t 分布表(296页)得,4.t 分布的百分位点,设t t(n)，对给定的a(0a1):,称满足条件,的点ta/2(n)为 t 分布
11、的双侧分位点.,下页,例如：a=0.05，n=15，查 t 分布表(296页)得,显然,2.F 分布的概率密度,且U与V独立，则称随机变量,为服从自由度为(m,n)的F分布，记作FF(m,n).,设,下页,五、F 分布,1.定义,3.F 分布的性质,下页,定理3 设(X1,X2,Xn1)和(Y1,Y2,Yn2)分别是从总体N(m1,s12)和 N(m2,s22)中所抽取的样本，且它们相互独立，则,证：,整理便得证.,性质,设FF(m,n)，对给定的a(0a1):,称满足,的点Fa(m,n)为F分布的上(右)侧分位点.,即,4.F 分布的百分位点,下页,称满足,为F分布的双侧百分位点.,查分位点
12、，略.表中n1为第一自由度.,设 X:X1,X2,Xn,1.,2.,若 XN(0,1),则,小 结,下页,Xi N(m,s 2),(1),(2),(3),3.,若 XN(m,s 2)，,下页,1,2,3,4,(1),(2),当s12=s22=s 2时，,4.两个正态总体,当s12,s22 已知时，,下页,5,6,Y N(m2,s22)：Y1，Y2，,Yn2，X与Y相互独立.,X N(m1,s12)：X1，X2，,Xn1,(4),下页,7,8,当m1、m2 已知时,(3),当m1、m2 未知时,Y N(m2,s22)：Y1，Y2，,Yn2，X与Y相互独立.,X N(m1,s12)：X1，X2，,Xn1,4.两个正态总体,作业：147页 3,4,结束,
