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1、一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,2,一、形如 的积分,思想方法:,封闭路线的积分.,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,3,形如,4,z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,5,例1 计算积分,解,则,6,7,例2 计算,解,令,8,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),9,例3,解,故积分有意义.,10,11,12,因此,13,若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析
2、,可先讨论,最后令,即可.,二、形如 的积分,14,2.积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间,一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1.被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x),可取 f(z)=R(z).,15,这里可补线,(以原点为中心,R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,16,根据留数定理得:,当 充分大时,总可使,17,18,例4 计算积分,解,19,20,积分存在要求:R
3、(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内.,同前一型:补线,一起构成封闭,都,三、形如 的积分,21,对于充分大的,且 时,有,22,从而,23,由留数定理:,24,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,25,26,例6 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点,所以可取图示路线:,27,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,28,29,当 充分小时,总有,30,即,31,例7,证,如图路径，,32,33,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,34,四、小结与思考,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.,35,思考题,36,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
