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1、3.1 几个重要统计量的分布,一、维希特（Wishart）,1、定义随机矩阵的分布,矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其行向量拉长，组成一个长向量,定义 维希特（Wishart）分布的统计量,设 个随机向量,独立同分布于，则随机矩阵,服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为。,在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当于一元统计中的 分布。,定理1：若，且，则 的分布密度为特别，当 和 时，服从 分布。,维希特（Wishart）分布的密度函数,二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：,（1）若W1和W2独
2、立，其分布分别 和，则 的分布为，即维斯特(Wishart)分布有可加性。,（2），C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。,三、抽样分布,定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有,则有,证明：,当，时，由卡方分布的定义可知,可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。,服从自由度为 的卡方分布。,定理2 设 独立同正态分布，则统计量,证：,由于样本均值,相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。,在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差来代替总体的方差，则那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。,
3、定义：,称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布。,定理：,当 时，服从自由度为n的中心霍特林分布，记为。,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,（1）Wilks分布,定义：设 和，且 相互独立，和，则称服从Wilks分布，记。可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。,四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量,在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。,2、统计量和分布,设k个总体，它们服从。分别抽出如下的样本：,W=E+B,当K个总体的均值相等时,服从Wilks(p,n-k,k-1)分布。,
