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1、多元正态分布的假设检验,4.1 单个总体均值向量的推断,proc iml;n=20;p=3;x=3.7 48.5 9.3,5.7 65.1 8.0,3.8 47.2 10.9,3.2 53.2 12.0,3.1 55.5 9.7,4.6 36.1 7.9,2.4 24.8 14.0,7.2 33.1 7.6,6.7 47.4 8.5,5.4 54.1 11.3,3.9 36.9 12.7,4.5 58.8 12.3,3.5 27.8 9.8,4.5 40.2 8.4,1.5 13.5 10.1,8.5 56.4 7.1,4.5 71.6 8.2,6.5 52.8 10.9,4.1 44.1 1
2、1.2,5.5 40.9 9.4;m0=4 50 10;ln=20 1;x0=(ln*x)/n;print x0;xm=x0-m0;print xm;mm=i(20)-j(20,20,1)/n;a=x*mm*x;print a;ai=inv(a);print ai;dd=xm*ai*xm;d2=(n-1)*dd;t2=n*d2;f=(n-p)*t2/(n-1)*p);print dd d2 t2 f;p0=1-probf(f,p,n-p);print p0;fa=finv(0.95,p,n-p);beta=probf(fa,p,n-p,t2);print fa beta;quit;,The S
3、AS System 08:48 Wednesday,March 10,2008 4 X0 4.64 45.4 9.965 XM 0.64-4.6-0.035 A 54.708 190.19-34.372 190.19 3795.98-107.16-34.372-107.16 68.9255 AI 0.0308503-0.001162 0.0135773-0.001162 0.0003193-0.000083 0.0135773-0.000083 0.0211498 DD D2 T2 F 0.0256283 0.4869386 9.7387729 2.9045463 P0 0.0649283 F
4、A BETA 3.1967768 0.3616381,二 单个总体均值分量间结构关系的检验,是取自该总体的样本。检验：,1、问题引入,例 设,与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵,注：矩阵C不是唯一的，,在例4.2.1中，假定人类的体形有这样一个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：,则上面的假设可以表达为,2、统计量及方法,其中C为一已知的kp阶矩阵，kp，rank(C)=K，为已知的K维向量。根据多元正态分布的性质可知,检验：,S为协方差矩阵,当 为真时，,故可以将霍特林分布的统计量换算成F统计量。,对给定的显著性水平，检验的规则,某地区农村男
5、婴的体格测量数据如下,检验三个指标的均值是否有关系,proc iml;s=31.600 8.040 0.500,8.040 3.172 1.310,0.500 1.310 1.900;mu=82.00 60.20 14.50;c=2-3 0,1 0-6;a=c*t(mu);d=c*s*t(c);g=inv(d);T=6#(t(a)*g*a);f=(6-2)/(2*(6-1)*T;Print T,f;p0=1-probf(f,2,6-2);print p0;fa=finv(0.95,2,6-2);print fa;Quit;,T47.143,The SAS System 08:48 Wednes
6、day,March 10,2008 18 T 47.143404 F 18.857362 P0 0.0091948 FA 6.9442719,4.2 两个总体均值的检验,一、两个独立样本的情形,与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个总体的均值是否相等。,设从总体，中各自独立地抽取样本 和，。,考虑假设,根据两个样本可得1和2的无偏估计量为,其中,当原假设为真的条件下，,检验的规则为：,data d331;input type x1-x4;cards;1 65 35 25 60 1 75 50 20 55 1 60 45 35 65 1 75 40 40 70 1 70 30 30 50
7、 1 55 40 35 65 1 60 45 30 60 1 65 40 25 60 1 60 50 30 70 1 55 55 35 75 2 55 55 40 65 2 50 60 45 70 2 45 45 35 75 2 50 50 50 70 2 55 50 30 75 2 60 40 45 60 2 65 55 45 75 2 50 60 35 80 2 40 45 30 65 2 45 50 45 70;proc iml;n=10;m=10;p=4;use d331(obs=10);xx=x1 x2 x3 x4;read all var xx into x;print x;ln=
8、10 1;x0=(ln*x)/n;print x0;mx=i(n)-j(n,n,1)/n;a1=x*mx*x;print a1;,use d331(firstobs=11);read all var xx into y;print y;lm=10 1;y0=(lm*y)/m;print y0;my=i(m)-j(m,m,1)/m;a2=y*my*y;print a2;a=a1+a2;xy=x0-y0;ai=inv(a);print a ai;dd=xy*ai*xy;d2=(m+n-2)*dd;t2=n*m*d2/(n+m);f=(n+m-1-p)*t2/(n+m-2)*p);print d2
9、t2 f;pp=1-probf(f,p,m+n-p-1);print pp;quit;,The SAS System 08:48 Wednesday,March 10,2008 20 X 65 35 25 60 75 50 20 55 60 45 35 65 75 40 40 70 70 30 30 50 55 40 35 65 60 45 30 60 65 40 25 60 60 50 30 70 55 55 35 75 X0 64 43 30.5 63 A1 490-170-120-245-170 510 10 310-120 10 322.5 260-245 310 260 510,Y
10、55 55 40 65 50 60 45 70 45 45 35 75 50 50 50 70 55 50 30 75 60 40 45 60 65 55 45 75 50 60 35 80 40 45 30 65 45 50 45 70 Y0 51.5 51 40 70.5 A2 502.5 60 175-7.5 60 390 50 195 175 50 450-100-7.5 195-100 322.5,A AI 992.5-110 55-252.5 0.0011142-0.000091-0.00016 0.0004239-110 900 60 505-0.000091 0.0016972
11、 0.0000975-0.001076 55 60 772.5 160-0.00016 0.0000975 0.0013754-0.000372-252.5 505 160 832.5 0.0004239-0.001076-0.000372 0.0020539 D2 T2 F 5.9724991 29.862495 6.2213532 PP 0.0037058,二、成对试验的T2统计量,前面我们讨论的是两个独立样本的检验问题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据是成对出现的。例如当讨论男女职工的工资收入是否存在差异；一种新药的疗效等。,思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同。,设(xi,y
12、i),i=1,2,3,n，时成对的试验数据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协方差相等。,假设检验,检验的统计量为,其中,当原假设为真时,例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学，然后对5个学生进行测验，得如下得分数：,分析不同的教学方式是否有差异。,data a;input x1 x2 y1 y2;cards;89 90 82 85 98 88 80 83 75 69 61 70 76 70 6766 90 76 63 65;data d;set a;x12=x1-y1;y12=x2-y2;proc corr cov;var x12 y12;run;proc iml;s=63.5
13、0 21.000,21.00 18.200;mu=15.00,4.800;g=inv(s);r=t(mu)*g*mu;print r;run;,4.3 两个总体均值分量间结构关系的检验,一、问题提出,设从总体，中各自独立地抽取样本 和，。他们的均值向量差为：,例 在爱情和婚姻的调查中，对一个由若干名丈夫和妻子组成的样本进行了问卷调查，请他们回答以下几个问题：(1)你对伴侣的爱情的“热度”感觉如何？(2)伴侣对你的爱情的“热度”感觉如何？(3)你对伴侣的爱情的“可结伴”水平感觉如何？(4)伴侣对你的爱情的“可结伴”水平感觉如何？回答采用没有、很小、有些、很大和非常大5个等级，得到结果如表。,现在
14、我们关心均值分量间的差异是否满足某种结构关系。比如每个指标均值间的差异是否相等。1、丈夫对妻子以及妻子对丈夫的回答在0.05显著水平上没有差异。2、在四个指标上他们是否会有相同的分数。即检验四个分数的平均值是否相等。,二、统计量与检验,检验,在原假设为真的条件下，检验的统计量为：,data a;input x1 x2 x3 x4 class;cards;数据行省略;run;proc anova;class class;model x1-x4=class;manova h=class m=(1-1 0 0,1 0-1 0,1 0 0-1);run;,H=Anova SSCP Matrix for
15、 class E=Error SSCP Matrix S=1 M=0.5 N=27 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks Lambda 0.87857261 2.58 3 56 0.0626 Pillais Trace 0.12142739 2.58 3 56 0.0626 Hotelling-Lawley Trace 0.13820985 2.58 3 56 0.0626 Roys Greatest Root 0.13820985 2.58 3 56 0.0626,proc iml;sigma1=0.5758620690 0.375
16、8620690-.1034482759-.1655172414,0.3758620690 0.5850574713-.0919540230-.1586206897,-.1034482759-.0919540230 0.4367816092 0.4137931034,-.1655172414-.1586206897 0.4137931034 0.4551724138;mu1=3.90000,3.96667,4.33333,4.40000;sigma2=0.4885057471-.0172413793 0.0402298851 0.0229885057,-.0172413793 0.4379310
17、345 0.0724137931 0.1172413793,0.0402298851 0.0724137931 0.2402298851 0.2022988506,0.0229885057 0.1172413793 0.2022988506 0.2574712644;mu2=3.83333,4.10000,4.63333,4.53333;c=1-1 0 0,1 0-1 0,1 0 0-1;mu=(mu1+mu2)/2;a=c*mu;sigma=29#(sigma1+sigma2)/58;t2=60#t(a)*inv(c*sigma*t(c)*a;print t2;,第一节 单因素方差分析,问题
18、的提出统计的模型及检验方法多重比较检验,问题的提出,某工厂实行早、中、晚三班工作制。工厂管理部门想了解不同班次工人劳动效率是否存在明显的差异。每个班次随机抽出了7个工人，得工人的劳动效率（件/班）资料如表。分析不同班次工人的劳动效率是否有显著性差异。a=0.05，0.01。,为什么各值 会有差异？可能的原因有两个。,一是，各个班次工人的劳动效率可能有差异，从而导致了不同水平下的观察值之间差异，即存在条件误差。,二是，随机误差的存在。,如何衡量两种原因所引起的观察值的差异?,总平均劳动效率为：,三个班次工人的平均劳动效率分别为：,总离差平方和ss,组间离差平方和(条件误差)ssA,组内离差平方和
19、（随机误差）sse,统计量F,把计算的F值与临界值比较，当F F时，拒绝原假设，不同水平下的效应有显著性差异；当F F 时，接受原假设。,NEXT,查F分布表得临界值因为 故应拒绝原假设，即不同班次工人的劳动效率有显著的差异。,方差分析：比较3个或3个以上的总体均值是否有显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据以判别误差主要源于组间的方差（不同组工人的产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误差）。,NEXT,50家上市公司，按行业计算其1999年底的资产负债情况，如下：,多重比较检验,1、多重比较检验 前面的F检验只能说明在单一因素的影响下，不同水平是否存在显著性的差异，但不能断言哪些总体
20、之间存在差异，在方差分析中否定了原假设，并不意味着接受了假设：,因而还应该进一步讨论到底是哪些总体之间存在差异。,Scheffe检验,检验的结论：,第二节 多元方差分析,一、假设,二、多元方差分析的离差平方和的分解,总离差平方和,由于交叉乘积项为零，故组间叉积矩阵组内叉积矩阵总叉积矩阵,组内叉积矩阵：主要由随机因素构成,组间叉积矩阵：主要由系统因素构成,SSE和SSA之和等于总离差平方和SST。当SSE在SST中占有较大的份额时，可以认为随机因素影响过大，反之SSE所占份额小，SSA所占份额就大，不同试验间的观测值会有显著性差异。,三、统计量,对给定的显著性水平，检验规则为：,拒绝原假设；,接
21、受原假设；,注：关于统计量与F统计量的换算，参看附录。,例,有四种不同的商品x1,x2,x3和x4,按三种不同的方式销售，有数据如程序数据行，检验三种消费方式是否有显著性差异。,proc iml;csscp=49290.8500 8992.2500-36444.0000 28906.8000,8992.2500 9666.5833-4658.3333 4859.0000,36444.0000-4658.3333 429509.3333-58114.0000,28906.8000 4859.0000-58114.0000 175644.4000;mu1=90.80000 58.65000 404.50000 230.65000;mu2=72.90000 51.45000 417.75000 253.15000;mu3=94.15000 55.15000 403.75000 292.00000;mu=85.95000 55.08333 408.66667 258.60000;bcsscp=20#(t(mu1-mu)*(mu1-mu)+t(mu2-mu)*(mu2-mu)+t(mu3-mu)*(mu3-mu);icsscp=csscp-bcsscp;ht=det(csscp);hi=det(icsscp);lamda=hi/ht;print lamda;,
