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1、函数的连续性(continuity),气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。,当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。,连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。,自变量的增量,函数的增量,增量的概念,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，,在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称函数是闭区间上的连续函数。,如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在x0
2、的某个邻域内有定义 极限值 存在 极限值与函数值 相等,定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量x=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即那末就称函数 y=f(x)在点x0连续.,连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.,函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时，函数值变化也很微小,连续性举例,1.讨论绝对值函数在x=0处的连续性.,解 因为,所以,所以绝对值函数在 x=0 处连续,2.作为例子我们来证明函数y=sinx在区间 内是连续的,由三角公式有,一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若
3、要证明函数在某点处连续,则宜使用原定义式.,解 因为,要使函数在 点连续,则应有,所以,函数的间断点 discontinuity,Discontinuity at x=1 and x=2,若函数 有下列三种情形之一：,则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的间断点。,不连续点即为间断点,可去间断点(1)第一类,点 x=1 是函数 f(x)的可去间断点,函数的间断点的类型,可去间断点(2)第一类,函数的间断点的类型,例如,但 不存在,点 称为函数的可去间断点。,跳跃间断点第一类,点 x=0是函数 f(x)的跳跃间断点。,函数的间断点的类型,函数的间断点的类型,无穷间断点第二类,振荡间断点第二类
4、,点 x=0是函数 f(x)的振荡间断点。,函数的间断点的类型,解 这是一个初等函数，其定义域为,而,所以，x=1是函数的第一类的可去间断点；x=2是函数的第二类的无穷间断点。,例题,解,由 的定义可知，函数在 内连续,而,所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)，x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。,解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有,而,连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即极限号 lim 与函数号 f 可以交换次序。,连续函数求极限法则,例如,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,例,反三角函数在其定义域内
5、皆连续.,定理1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。即,例,定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数。即,三、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,初等函数求极限的方法代入法.,例1,解,例2,解,例3,解,例4 求,解,如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间a,b上连续的,定义,闭区间连续函数的性质,最值定理（The max-min theorem）,在闭区间 a,b 上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。,说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,介值定理 The intermediate value theorem,根的存在定理,设函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续,且 f(a)与 f(b)异号,那末，在开区间（a,b）内至少存在一点，使得,几何解释:,例题,证,由零点定理,由零点定理可知，原方程在-1，5内必有根。,解,又,练习,
