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1、一、德布罗意波(物质波),1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设：一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。,具有能量为E、动量为p 的实物粒子就有一定频率 和一定波长与之对应。它们之间满足如下关系：,德布罗意公式(或假设),与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波),15-1 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性,所以电子的德布罗意波长为：,例如：电子经加速电势差 U加速后,解：,例 一原静止的电子被电场加速到速度v（vc），加速电压为100V时，则速度为v的电子的De Brglie波波长为多大？,二、物质波的实验验证,1927年戴维孙和革末用加速后的电子投
2、射到晶体上进行电子衍射实验。,实验发现：保持 角不变，改变电压值，电流并不随电压单调的改变，而是出现选择性。,根据衍射理论，衍射最大值应满足布拉格公式：,德布罗意假说，电子的波长为：波,当电压为某一特定值时，电流才有极大值（此规律与x射线的衍射规律相似）。,利用布拉格公式球得波长为:,两者波长值很接近，证明微观粒子具有波粒二象性,若在戴维孙革末实验中取,根据德布罗意假说,由加速电势差算得的波长为:,思考题:若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。试问：1）它们的动量大小是否相同？2）它们的总能量是否相同？（05年）,2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于光子的能量。,解：1）由德布罗
3、意关系可知,它们的波长相同.因此，它们的动量大小相同,光子的能量：,电子的总能量：,例1:、粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动.试求:(1)粒子德布罗意波长;(2)若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的速率 运动,则其波长为多少?(粒子质量为ma=6.6410-27kg)(05.08),解:(1)求粒子德布罗意波长,(2)若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长,若 m=0.1g 的小球速率,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：,经严格证明此式应为：,这就是著名的海森伯不确定关系式,设有一个动量为p，质
4、量为m的粒子，能量,考虑到E的增量：,能量与时间不确定关系式,即：,能量与时间不确定关系,测不准关系式的讨论,1.用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出现不确定性。在位置和动量的不确定量中,位置不确定量越小,则同方向的动量不确定量就越大。反之亦然。,3.可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。,2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。,所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定,1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？,所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定
5、？,解：,例2 电子射线管中的电子束中的电子速度一般为 105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即 vx=10m/s，求电子位置的不确定量（电子的位置确定在 范围内可以认为令人满意）,可以用经典力学来处理。,所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。,E.薛定谔(1887-1961)奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。,15-3 薛定谔方程,描述微观粒子运动状态的基本方程薛定谔方程？,什么是隧道效应？,描述微观粒子的波函数必须 满足哪些条件？,波函数的物理意义是什么？,描述微观粒子运动状态的函数。,经典单色平面简谐波波动方程：,1、波函数：,一、波函数 概率密度,自由粒
6、子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数,考虑到自由粒子沿三维方向的传播,设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相关联的频率为、波长为，将德布罗意关系式代入：,式中的、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性,2、概率密度波函数的统计解释,波函数物理意义,如何描述微观粒子的运动,根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波函数是对微观粒子运动的统计描述,即物质波是概率波,概率波只能给出粒子在各处出现的概率。,1）大量电子的一次性行为：,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,(r,t)代表什么？看
7、电子的单缝衍射：,2）一个粒子多次重复性行为,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度-波函数的物理意义.,通常比例系数取1:,（由叫概率分布函数）,微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。,牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，决定性的。,量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的统计分布；即只 知道|2大的地方粒子出现的可能性大，|2小的地方几率小。一个粒子下一
8、时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）,物质波与经典波的本质区别,经典波的波函数是实数,本身具有物理意义,可测量。,因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。,物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义,所以是不可测量的；可测量的只有,2)对于概率波来说,重要的是相对概率分布。故和 描述的相对概率分布是完全相同的。,而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，因此,代表了不同的波动状态。即若：,等价,那么,3、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件）,1）波函数具有有限性,在空间是有限的,2）波函数是连续的,3）波函数是单值的,粒子在空间出现
9、的几率只可能是一个值.,4）满足归一化条件,（归一化条件）,因为粒子在全空间出现是必然事件.,波函数的标准条件：单值、有限和连续,解：利用归一化条件,例1：求波函数归一化常数和概率密度。,这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程,对于非相对论粒子,一维自由粒子的波函数,二、薛定谔方程,1、薛定谔方程的引入(并不是理论推导),若粒子处在外力场中(非自由粒子)其粒子的总能量为：,一维薛定谔方程,三维薛定谔方程:,拉普拉斯算符,哈密顿（能量）算符,则薛定谔方程为：,算符:就是一种运算符号，是对量子态(波函数)的操作。某物理量算符常用对应的该物理量字母上方加“”符号表示。,2、定态薛定谔方程,如果势能函
10、数不是时间的函数,即：,代入上式薛定谔方程中整理得：,用分离变量法将波函数写为：,此方程仅是空间坐标的函数-称为定态薛定谔方程.,那么，粒子在空间出现的几率密度：,几率密度与时间无关，因此，波函数描述的是稳定态-简称定态。,-称为定态薛定谔方程.,薛定谔方程比较（非相对论形式）,2.定态薛定谔方程:,1.一般形式薛定谔方程：,一维,三维,一维,三维,若 U=0（自由粒子）,设质量为m的粒子只能在 0 xa 区域内的外力场中作一维运动.,势能函数为：,三、一维无限深势阱（定态薛定谔方程的应用),因为在阱外(即：当 x a 时)粒子势能为无穷大,方程的通解为：,由边界条件,概率分布函数,0,粒子波
11、函数,则粒子的能量：,此能量量子化是求解态薛定谔方程时波函数必须满足标准化条件的自然结果,而不是人为的假设。,n=1,2,3,结论：,在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。,若n=0，则k=0，,没有意义。,所以n=1时粒子取最低能量：,E1称之为基态能量。,特征分析：,1.,粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。,2.,波函数是驻波方程。能级越高，驻波个数越多。,在x=0和x=a的边界上是驻波波节。,在0 xa的区域，驻波有(n1)个波节，驻波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。,3.,概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数越多。,用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量:,因
12、为势阱中 U(x)=0，E=EK,用薛定谔方程简单分析得：,n=1,2,3,由驻波条件得，,能量是量子化的。,与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。,例2 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为,求:粒子处于基态和处于第一激发态时，x 在（0 a/3）之间找到粒子的概率。,n=1,2,3,.,解：,当n=1（基态）时,处于第一激发态，即n=2 时的状态,例题3 一个质子在一维无限深势阱中，阱宽a=10-14m。(1)质子的最低能量有多大?(2)由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出 多大能量的光子?,解：,（1）最小能量为(n=1时)：,两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形成势垒，势垒高度为U0
13、。并设粒子的总能量En势垒高度U0。,例如：衰变，,用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在势垒中无电流产生。,实验证明，能量低于势垒高度的自由电子也能穿透势垒进入另一金属区.,四、一维势垒、隧道效应(一维散射问题),粒子在图中三个区域的波函数分别为,一维方势垒是指粒子受到势能为,的作用，称为一维方势垒。,在三个区域内的波函数满足的方程分别为：,III,I,II,入射波,反射波,透射波,考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反射波；粒子从I 区经过II 区穿过势垒到 III 区，在III 区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。,根据波函数单值、连续的标准条件,透射系数：,可
14、见，a、m及(U0-E)值越小，粒子的透射系数P 越大。,当 U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm 以上时，透射系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际上已经没有意义了。量子力学与经典力学趋于一致了。,微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实,并已广泛应用。例如,粒子从放射性核中释放出来、场致电子发射及半导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的结果如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧道显微镜（简称STM.是研究材料表面结构的重要工具)。,隧道效应：粒子能穿透比其能量 E 更大的于势垒高度 U0 的现象。(EU0),电子逸出金属表面的模型,隧道效应,m振子质量，固有频率，x位移,五、一
15、维谐振子（重要的物理模型）,1.粒子的势能函数:,其中(x)一维谐振子的定态波函数。,2.哈密顿算符：,3.由定态薛定谔方程:,得到,能量是量子化的,能量间隔:,最低能量(零点能):,为使波函数满足标准化条件，谐振子能量必须满足量子化条件:,说明原子并不静止,仍有零点振动,满足方程的定态波函数：,其中,4.与经典谐振子的比较,.基态位置概率分布,量子：在x=0处概率最大。,经典：在x=0处概率最小.,.符合玻尔对应原理,最低能量(零点能),最低能量为零。,.尽管振子的能量与量子力学计算结果有1/2hv的偏差，但 能量的改变还是hv的整数倍，与普朗克假设一致。,例4、设线性谐振子处在基态和第一激发态的波函数分别为,求：在这两状态时概率最大的位置。,解：(1)基态概率分布函数,求极值，由,得到 x=0,由二阶导数小于零可知x=0处是极大值。,（2）在第一激发态的波函数为：,
