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1、矢量式：,力矩：,注意：,单位：米.牛顿,1）力 必须在转动平面内：,2）若力 不在转动平面内，分解成,一、力矩,3）若刚体受N个外力作用，,力是连续的,力不连续,例1，均匀细杆，在平面内以角速度转动，求M摩擦力。,r,解,力是连续的,其中：,所以,例2，现有一圆盘在平面内以角速度转动，求摩擦力产生的力矩（、m、R）。,解,取细圆环为质元,取刚体内任一质元i，它所受合外力为，内力为。,只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。,对mi用牛顿第二定律：,法向力作用线通过转轴，力矩为零。,两边乘以ri,有：,对所有质元的同样的式子求和，有：,用M表示Fit ri（合外力矩），有：,刚体所受的对于某一
2、固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。,注意几点:,1.是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。,2.M、I、是对同一轴而言的。,刚体定轴转动定律！,4.转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。,5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。,3.具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。,说明：1）定律是瞬时对应关系；,如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。,如何求力对轴的矩呢？,3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。因为：,即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有
3、状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,纸风车,电风扇,例1:一质量m1为的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘上,开绐时静止,求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高?(绳的质量与轴上的磨擦力不计).,已知:m1、m2、r,求：a、T、h,解：建立转动轴的正方向，加速度的正方向.,隔离物体分析力：,列方程：,+,m1g-T=m1a.(1),Tr=I(2),(3),a=r(4),a=r=,由(2)式:,代入(1)式:,所以:,a=r,注意:a等于常数且初速为零!,所以:,求：,受力分析：,已知：,建立轴的正向：（
4、力矩投影的正方向）,m1,m2,列方程：,线量的正方向应满足,解上面五式得：,一、力矩的功,力矩的功,是刚体在力矩的作用下转过的角度,设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,重力矩的功,当杆到达铅直位置时重力矩所作的功,L,以杆为研究对象,受力：,mg，FN,二、刚体的重力势能,ZC质心距0势能面的距离,三、刚体转动动能定理,力矩的功定义式,考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的角位置由,角速度由,此称刚体转动的动能定理,四、刚体的机械能守恒,若刚体系统，则刚体的机械能守恒E1E2。,例1 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水
5、平静止释放。求：,当杆过铅直位置时的角加速度、角速度以及此时A和C点的线速度量值。,1）以杆为研究对象,受力：,mg，N（不产生对轴的力矩）,建立OXYZ坐标系,L,解(一),C,A,建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）,L,2）=？,两边积分：,2）=？,解(二)：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从 0-,依动能定理,可得,例2，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始(静止)下落到h距离时的速度？,k,解,机械能守恒,解之，可得,例3）一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1，M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=a(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。,已知：,M0,M1=a,I,|t=0=0,求：（t）=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,J,解：,4）列方程：,分离变量：,
