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1、第四章 刚体的转动,一、刚体的定轴转动（运动）二、力矩、刚体定轴转动的转动定律、转动惯量三、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律四、力矩作功、刚体定轴转动的动能定理,主要内容：,结构框图,角动量,力矩作功,转动动能,刚体转动,4-1 刚体的定轴转动,一、刚体的基本运动,在运动过程中，其上任意两点的连线在各个时刻位置始终保持平行的运动。,平动：,刚体：,在无论多大的外力作用下，其形状和大小都不发生任何变化的物体。即其内部任意两点之间距离永远不变，刚体的各部分之间没有相对运动。,说明：,刚体是一个物体，可视为由许多质点组成；因此研究质点系的方法和得出的一般结论均适合刚体。,刚体是物理学中的一个
2、理想模型，绝对的刚体是不存在的。,刚体的平动：用质点的运动处理。,二、刚体转动的角速度、角加速度,由右手螺旋法则确定：右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度 的方向。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,一般刚体的运动：质心的平动绕质心的转动,转动：,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,线速度与角速度之间的关系：,注意：、是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故用正负表示其方向。,在刚体作匀加速转动时，相应公式如
3、下：,刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系如下：,角加速度矢量：,作业：P143 4-6 4-11,4-2 力矩 转动定律转动惯量,一、力矩,在垂直与转轴的平面内，外力 与力线到转轴的距离d(力臂)的乘积定义为对转轴的力矩。,力矩逆时针方向 为正。,力矩顺时针方向 为负。,力矩：,定轴转动，规定：,力臂：从转轴 与截面的交点O到力 的作用线的垂直距离d力 对转轴的力臂,按矢量叠加。,若几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都在与转轴相垂直的平面内，则它们的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。,合力矩：,即：大小为；方向：右手法则确定。,单位：牛顿米；量纲：。,注：如果作用
4、在刚体上的外力不在垂直转轴的平面内，那么 应当理解为外力在平面内的分矢量，这样该分矢量才对刚体转动产生影响。,结论：刚体内各质点间的作用力对转袖的合内力矩等于零。（参见P106 图4-12、4-13),右手法则：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向是由径矢 通过小于 的角转向力 的方向，这时拇指所指的方向就是力矩的方向.,二、刚体定轴转动的转动定律,利用力矩定义牛顿第二定律，研究刚体作定轴转动的动力学规律。,设：为定轴，为刚体中任一质点，其质量为。质点 受外力，内力 的作用，均在与 轴相垂直的同一平面内。,牛顿第二定律：,建立自然坐标：切向、法向；,切向分量式为：,注：切向分力与圆的半径及
5、转轴三者互相垂直。,切向分量式两边乘以ri,有：,法向分量式为：,利用，即为：,对所有质元的同样的式子求和：,一对内力的力矩之和为零，所以有,为刚体对于转轴的转动惯量,合外力矩,则有：,结论：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。,mj,mi,ro,rj,ri,Oi,Z,定义：,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性,三、转动惯量 J,2.与转动惯量有关的因素：刚体的质量；转轴的 位置；刚体的形状。,实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位
6、置结合决定转轴到每个质元的矢径。,1.转动惯量的物理意义：,当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。,若质量连续分布,在（SI）中，J 的单位：kgm2 量纲：ML2,dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,线分布,面分布,体分布,3
7、.转动惯量的计算,教材P110 表4-2 几种均匀刚体的转动惯量,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,l,O,R,r,dr,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,例4.求质量 m,半径 R 的球壳对直径的转动惯量,解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元,例5.求质量 m,半径 R 的球体对直径的转动惯量,解：以距中心，厚 的球壳 积分元为,
