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1、第5章 刚体的定轴转动,5.1 刚体的定轴转动定律,外力矩沿z轴分量的代数和,刚体沿z轴的角动量,刚体对z轴的转动惯量,2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。,3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和为零）,1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点的固定转轴投影得到。,外力对固定转轴力矩的计算：,：沿转轴方向,：沿转轴反方向,转动平面内的分力对转轴的力矩,计算转动惯量的几条规律：,1、对同一轴可叠加：,2、平行轴定理：,3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：,常用的转动惯量,8,例2：证明球体对任意直径的转动惯量为：,证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆
2、柱作为质元，,9,例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时的角速度为0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k，当=0/3时，飞轮的角加速度=？从开始制动到=0/3所经历的时间t=?,解：,10,与一维质点动力学方法一致,解：刚体定轴转动,1、受力分析,2、关于O轴列转动定理,【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？,由求w：,（1）平动：质心运动定理,3、求转轴受力,（2）转动：关于质心轴列转动定理,为什么？,【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l远，求冲力作用后棒的运动状态。,
3、解（1）质心的运动,质心以vC0的初速做上抛运动。,（2）在上抛过程中棒的转动,绕过质心转轴，列转动定理：,在上抛过程中，棒以恒定角速度绕过质心轴转动。,【演示实验】质心运动（杠杆）,5.2 转动刚体的角动量守恒,1、绕定轴转动,2、几个刚体绕同一定轴转动,【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪,3、关于过质心轴,若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角动量可在这几部分间传递。,若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。,若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。,5.3 刚体转动的功和能,力矩的功：,不太大刚体的重力势能：,机械能守恒定律：只有保守力做功时,解：杆
4、机械能守恒,比用转动定律简单！,势能零点,绕固定轴转动动能,杆动能的另一种表达：科尼西定理,势能零点,5.4 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充）,1、平面平行运动,只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。,质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动,2、无滑动滚动：,任意时刻接触点P 瞬时静止,无滑动滚动条件：,【思考】下一时刻P点位置？,转动惯量小的滚得快！,【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动,质心运动定理,过质心轴转动定理,纯滚动条件（运动学条件）,【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？,3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴,时刻t 接触点P 瞬时静止
5、；,在时间(tt+t)内，以P点为原点建立平动坐标系；,时间(t t+t)内，刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动。,接触点P：,瞬时转轴,瞬时转动中心,绕瞬时转轴的转动定理的形式？,虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。,下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体，接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此，关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。,惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度方向相反。,关于过p点转轴的转动惯量,轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：,27,证明：,p点相对惯性系的加速度,p点相对质心的加速度,按
6、切、法向分解：,无滑动滚动：,p点加速度沿半径方向,过p点转轴惯性力矩等于零,28,简单多了！,29,5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,讨论力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,30,刚体定轴转动的角动量守恒定律：,对刚体系，M外z=0 时，,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,茹科夫斯基转椅(KL016),陀螺仪（KL029）,转台车轮(KL017),31,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,32,滑冰运动员的旋
7、转,猫的下落（A）,猫的下落（B）,33,例 如图示，,求：碰撞后的瞬刻盘,P 转到 x 轴时盘,解：,m下落：,(1),对（m+盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，,(2),已知：h，R，M=2m，=60,系统角动量守恒：,34,(3),对（m+M+地球）系统，,令P、x 重合时 EP=0，则：,(5),由(3)(4)(5)得：,由(1)(2)(3)得：,(4),只有重力作功，E守恒。,（m+盘）角动量,35,旋进：,如玩具陀螺的运动：,轴转动的现象。,高速旋转的物体，其自转轴绕另一个,36,点的 不平行于。,若质量对转轴分布对称，,下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称,对转轴不对称，,的刚
8、体的旋进问题。,刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。,例如，图示的情形：,质量,则：,则对轴上O,37,从而产生旋进运动。,玩具陀螺的旋进：,只改变方向而不改变大小，,38,旋进角速度：,39,回转效应产生附加力矩：,轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。,附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。,三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。,40,地球转轴的旋进，岁差,随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。,北极星,3000年前 小熊座,现在 小熊座,12000年后 天琴座（织女）,T=25800年,41,岁差=恒星年 太阳年=20分23秒,42,我国古代已发现了岁差：,每50年差
9、1度（约72/年）,将岁差引入历法：,391年有144个闰月。,43,当旋进发生后，总角速度,只有刚体高速自转时，才有,这时也才有 和以上 的表示式。,当考虑到 对 的贡献时，,自转轴在旋,进中还会出现微小的上下的周期性摆动，,运动叫章动（nutation）。,这种,44,1.定轴转动的运动学问题,解法：利用定轴转动的运动学描述关系,2.转动惯量的计算,解法：,（1）定义法：,习题基本类型,45,（2）平行轴定理,若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有 J=JC+m d 2。,3.定轴转动的动力学问题,解法：利用定轴转动中的转动定律,步骤：,（1）审题，确定研究对象；
10、,（2）建立坐标系；,（3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注：受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将 F=ma 与 M=J 联系起来；,（4）计算对轴的转动惯量；,（5）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。,46,4.定轴转动中的功能问题,解法：利用动能定理和机械能守恒定律,5.角动量原理及角动量守恒定律,6.混合题型,解法：应用运动学公式、转动定律和角动量守恒定律。,47,5.1 一 汽车发动机的转速在7.0s 内由200rev/min均匀地增加到3000rev/min。（1）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求
11、这段时间内转过的角度；（3）发动机轴上装有一半径为 r=0.2m 的飞轮，求它边缘上一点在这第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和总加速度。,（1）初角速度：,解：,0=2200/60=20.9(rad/s),末角速度：,=23000/60=314(rad/s),角加速度为：,（2）转过的角度为,48,总加速度为：,总加速度与速度（切向）之间的夹角,（3）切向加速度为,法向加速度为,49,由于转动惯量具有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J1就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2 即,5.2 从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆板，所
12、形成的圆洞中心在距原薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为m。求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。,解：,设板质量密度为厚度为a，则,J=J2-J1,50,由于,则,最后求得,5.3 如图，两物体质量为m1、m2，滑轮的质量为m，半径为 r，可视作均匀圆盘。已知 m2与桌面间的滑动摩擦系数为k，求 m1下落的加速度和两段绳子中的张力各为多少。设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。,解：,（绳在轮上不打滑）,（向下为正）,（向右为正）,线角量关系：,对m1、m2、滑轮分别进行受力分析，画出示力图,（顺时针为正）,方程组的解为：,53,5.4 如图，两个圆轮的半径分别为R
13、1和R2,质量分别为 M1、M2，二者皆可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起，可绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量为 m1 和 m2 的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。,解：,（向上为正）,（向下为正）,对m1、m2、整个滑轮分别进行受力分析，画出示力图,（顺时针为正）,54,线角量关系（绳在轮上不打滑）：,方程组的解为：,55,5.5 一根均匀米尺，在60cm刻度处钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角加速度。,解：,设米尺总质量为m，则直尺对悬点的转动惯量为：,对米尺，手刚
14、释放时，由转动定律：,56,在米尺转到竖直位置过程中，系统（尺+地球）机械能守恒：,57,5.6 坐在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑铃和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1=2kg m2。在外人推动后，此系统开始以n1=15r/min转动，当人两臂收回时，使系统的转动惯量变为J2=0.80kgm2，它的转速n2是多大？,解：,两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？设轴上摩擦忽略不计。,由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩为零，所以系统沿此轴的角动量守恒,两臂收回时，系统的内力（臂力）做了功，所以系统的机械能不守恒。臂力做的总功为：,58,59,5.7 如图所示
15、，均匀杆长 L=0.40m，质量M=1.0kg，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止。今有一质量为 m=8.0g 的子弹以速度=200m/s 水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d=3L/4 处。（1）求子弹停在杆中时杆的角速度。（2）求杆的最大偏转角。,解：,（1）系统（杆+子弹），在碰撞过程中，合外力矩为0，因而系统的角动量守恒。（在俯视图中，选为正方向）,60,（2）系统（杆+子弹+地球），上摆过程，只有重力（保守力）做功，系统的机械能守恒（选杆竖直时势能为零）。,61,5.8 一转台绕竖直固定固定轴转动，每转一周所需时间 t=10s，转台对轴的转动惯量为 J=1200kgm2。一质量为M=80kg 的人，开始站在转台中心，随后沿半径向外跑去，当人离转台中心 r=2m 时转台的角速度多大？,解：,系统（人+转台）没有受到沿轴的合外力矩作用，因而其角动量守恒，即：,由此可得转台后来的角速度,
