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1、5.5 转动中的功和能,一、力矩的功,称为力矩的功,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。,二、刚体定轴转动的动能定理,由定轴转动的转动定律:,两边乘以d 再同时积分有:,合外力矩对刚体做的功,刚体的转动动能,上式即为：,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。这个结论称为定轴转动的动能定理。,三、刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,四、定轴转动的功能原理与机械能守恒,对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。,质点系功能原理对刚体仍成立：,若A外
2、+A非保内=0 则Ek+Ep=常量。,例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角速度。,用功能定理重解该题,取起始位置为零势能参考点,？棒端A的速度,初始：,令,末态：,则：,(1),解：杆+地球系统，只有重力作功，E守恒。,由平行轴定理,(2),由（1）、（2）得,典例4一个质量为M半径为R的匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为m半径为r的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为m的物体，如图。求当物体由静止下落h时的速度v。,机械能守恒,对球壳
3、、圆盘、物体和地球组成的系统，无外力做功，非保守的内力即绳子的张力所做总功为零，所以机械能守恒。的初始高度作为势能零点，有,此题的实用意义，测出物体下落高度h时的速度，可计算处于球壳位置上任意不规则物体的转动惯量。,6 对定轴的角动量守恒,一、质点系定轴转动的角动量定理,冲量矩,左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩；,右边为质点系对同一转动轴的角动量的增量。,质点系定轴转动的角动量守恒,当 M=0 时，,定轴转动：,二、对定轴的角动量守恒定理,对于一个质点系，如果它受的对于某一固定轴的合外力矩为零，则他对于这一固定轴的角动量保持不变-对定轴的角动量守恒定律,1、上
4、述结论对质点系适用，质点系可以不是刚体，其中的质点也可以组成一个或多个刚体2、一个系统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固定轴而言,由多个刚体组成的刚体体系,M=0的原因，可能:1）F0（不受外力）；2）外力作用于转轴上;3）外力作用线通过转轴；4）外力作用线与转轴平行。,对定轴转动均没有作用，则质点系对此轴的角动量守恒。,演示 茹可夫斯基凳,花样滑冰 跳水 体操,第5章结束,角动量守恒的另一类现象,花样滑冰中常见的例子,花 样 滑 冰,共轴系统的角动量守恒,直升飞机防旋措施,回转仪定向原理,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例1
5、：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的,C,（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒;（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.,例2、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:,1)子弹和棒的动量守恒吗?为什么?,2)角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?,例3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下
6、垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,解:碰撞前单摆摆锤的速度为,令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中动能也是守恒的:,二式联立解得：,按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为,而杆的质心达到的高度满足,由此得,典例3.长为l质量m为匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，另一质量也为m的小球，用长为l的轻绳系于O轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最大摆角为/3，求小球最初被拉开的角度。,思路同上
7、,在小球下落过程中，对小球与地球系统，只有重力做功，所以机械能守恒，设小球碰前速度为v，有,在碰撞过程中对轴的角动量守恒，动能守恒,碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒,例4、一飞轮以角速度w0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。啮合后整个系统的角速度w=.,(1/3)w0,利用J1wo=(J1+2J1)w,例5.质量为m 的小孩站在半径为R、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动).平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时,则此平台相
8、对地面旋转的角速度 为,0=mRv+Jw,w=-mRv/J,以逆时针方向为转动正方向,顺时针方向,人沿台边缘行走一周，所花时间？,有一转台，质量为M半径为R可绕光滑竖直中心轴转动，初始角速度为 一质量为m的人站在转台中心。若人相对转台以恒定速率u沿半径向边缘走去，求人走了时间t后，转台的角速度 及转过的角度,习题指导P39 典型例题5,解：在人走动过程中，人和转台组成的系统不受对竖直轴的外力矩，因此角动量守恒，设时间t时，人走到距轴为rut处，人看作质点，转动惯量为mr2。,1.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B，若 A B，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴
9、的转动惯量各为 JA和 JB，则,（A）JAJB,（B）JBJA,（C）JA=JB,（D）JA、JB哪个大，不能确定。,B,课堂练习,两个半径相同，质量相等的细圆环A和B。A环的质量分布均匀，B环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA、JB，比较其大小,2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?,(D)角速度从大到小,角加速度从小到大.,(C)角速度从大到小,角加速度从大到小.,(B)角速度从小到大,角加速度从小到大.,(A)角速度从
10、小到大,角加速度从大到小.,A,3.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度 w 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度 w,A,（A）必然增大;（B）必然减少;（C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。,作用在定轴转动的刚体上的两个力的合力为零，合力矩也一定为零，总功一定为零。,4.光滑的水平桌面上,有一长为 2L、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3,起初杆静止,桌面上有两个质量均为 m 的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率
11、 v 相向运动,当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为:,（D）,C,（A）,（B）,（C）,以顺时针为转动正方向,两小球与细杆组成的系统对竖直固定轴角动量守恒,由 Lmv+Lmv=2mL2w+Jw,J=mL2/3,及,可知正确答案为,6.如图所示,一均匀细杆长为 l,质量为 m,平放在摩擦系数为 m 的水平桌面上,设开始时杆以角速度 w0 绕过中心 o 且垂直与桌面的轴转动,试求:,（1）作用在杆的摩擦力矩;（2）经过多长时间杆才会停止转动。,典例2.质量为m半径为R的匀质圆盘可绕过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。盘与桌面间的滑
12、动摩擦系数为。若用外力使其角速度达到0时撤去外力，求：（1）此后圆盘还能转动多长时间？共转了多大角度？（2）上述过程中摩擦力矩所做的功。,习题指导P37 典型例题2,取半径为r宽为dr的质元,它受到的摩擦力矩为,总的摩擦力矩为,转动时间：,转过的角度：,摩擦力矩所做的功,典例6有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间(已知棒绕O点的转
13、动惯量),碰瞬间角动量守恒：,角动量定理：,7.以 30Nm 的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上,在10s内飞轮的转速由零增大到5rad/s,此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。,解：,典例3如图所示，有一门质量为M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v应是多大?,斜面方向动量守恒,P15 质点力学综合 2,7一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成60，然后无初转速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度求：(1)放手时棒的角加速度；(2)棒转到水平位置时的角加速度,如图所示，假设物体沿着铅直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？（A）它的加速度方向永远指向圆心。（B）它的速率均匀增加。（C）它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。（D）它的合外力大小不变。（E）轨道支持力的大小不断增加。,（E）,
