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1、质点力学,复习,运动学的基本物理量,质点运动的描述（在直角坐标系和自然坐标系）,运动学的两类问题,新内容,新内容,动力学的基本物理量之一力,牛顿第二定律的描述（在直角坐标系和自然坐标系）,动力学的两类问题,积分微分问题,切向法向加速度,难点兼重点,描述机械运动的物理量,线量：位置矢量：位移：速度：加速度：,角量：角位置：角位移：角速度：角加速度：,角量和线量之间的关系：,质点动力学,牛顿第二定律F=ma,质点动量定理Fdt=d(mv),1、力对时间的累积冲量2、动量定义：P=mv,质点系动量定理Fdt=dP,动量守恒定律 F=0 P=C,1、力对空间的累积功2、动能定义,质点系动能定理,功能原
2、理 A外+A非保守内力=E-E0,机械能守恒定律,质点运动学的基本题型,1、已知运动方程 求质点在任意时刻的速度、加速度、切向加速度、法向加速度、任意时刻的位置以及轨道方程等。2、已知质点的加速度（或速度）随时间的变化规律和初始条件（t=0 s时刻的初位矢r0和初速度v0），求质点在任意时刻的速度和运动方程。这是积分问题，根据加速度的表示有三种情况：对每种情况有不同的积分方法。,例1.速度矢量和加速度矢量是怎样定义的?写出定义式.,若一质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),有人求速度加速度作法如下:,(1)试就质点的圆周运动这一特例说明.,如此作法是否正确?并说明理由.,各式的含义.,例
3、题,(3)试就质点作一般曲线运动情况分别标出;并讨论.,(1)不正确，以圆周运动为例：,结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然不为零,仍以圆周运动为例，,解：,S,r,（3）,由图可见，为做曲线运动的质点的速度；,为速度的大小，即速率；而,所以，在圆周运动中，,既不是速度也不是速率，它是速度沿径向分量的大小。,为速度大小的增量，,为物体的加速度矢量,是加速度的大小,（3）,例2、一个质点在平面上作曲线运动，它的速度矢量和加速度矢量的夹角始终保持不变。试证明它的速度大小可以表示为式中是速度v与x轴的夹角，并且当=0时，速度v=v0,解：如图所示，题设的条件可以表示为：,从而：,而：代入得
4、到：,分离变量并积分：得到：,h,l,v1,v2,对于相对运动问题，在计算相对速度和相对加速度时，应当首先明确研究对象和参考系的关系，即谁相对与谁，然后根据相关的矢量式求解。也可以根据矢量式画出矢量图来求解，这是一种简明有效的解题方法。,例3、一辆汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1，雨滴下落的速度方向偏与垂直方向之前角，速率为v2。若车后有一长方形物体，如图所示。问车速至少多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？,分析：这是一个相对运动问题，把雨点作为研究对象，取地面为静止参考系，汽车为运动参考系。要使物体不淋湿，在车上观察雨点下落的方向（雨点相对于汽车运动速度的方向）应当满足=arctanl/h。
5、解：雨滴相对速度的矢量关系如图:则根据：由矢量图可以得到：,而要使则所以,例4、讨论物体受下述变力作用时，求加速度的解题思路（1）力是时间的函数F=F(t):一质量为m的质点A受周期性外力F=F0cos t 的作用沿x轴运动,其中F0、均为常量，且t=0时静止于坐标原点,求位置、速度与时间的关系。思路：加速度是时间的函数a=a(t):即a=(F0/m)cos t,(2)力是位置的函数F=F(x):一质量为m的质点B沿x轴运动受力F=F0+kx 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0,求B的速度与坐标间的关系。思路：加速度是位置的函数a=a(x):即a=(F0/m)+(k/m)
6、x,(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之前关闭发动机这时的速率为v0，设水的阻力与轮船的速率成正比,比例常数为k，求发动机停机后,C所能前进的最大距离。思路：加速度是速度的函数F=F(v):F=-kv,a=-(k/m)v,例5、路灯距离地面高度为H，一个身高为h的人，在灯下水平路面上以v0匀速度步行，如下图所示，试求当人与灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。,解：建立如图坐标系，t时刻头顶影子的坐标为x+x，设头顶影子的移动速度为v，则 由图中可以看出：则有,所以有,例6、两个质量均为m 的小球A和B，用长度为l的两根绳子相连，如图所示。它们
7、始终保持在同一个铅直面内以恒定的角速度旋转，成为两个连在一起的圆锥摆。证明A摆的摆线与铅直线间的夹角 小于B摆的摆线与铅直线间的夹角。如果摆线与铅直线间的夹角很小，求摆的旋转角速度。,解：两个摆球的受力情况如图所示：对A摆有：,对B摆有：,代入式（1）、（3），可以消去T1、T2，可以得到：,比较以上两个式子，可见：,所以,如果这两个夹角很小的话，则（5）、（6）可以简化为：这个系数行列式等于零。,即,解得：,例7、质量为m的小球，用一个劲度系数为k的轻弹簧1悬挂起来。当弹簧的伸长量超过临界长度lc(lcmg/k)时，弹簧将被拉断。在小球下方再挂一根完全相同的弹簧2。如果慢慢拉弹簧2时，拉力缓
8、慢增大，弹簧1先被拉断，快拉时，拉力迅速增大，弹簧2先被拉断。若作用于弹簧2的拉力F(t)=at，其中a是一个常量，以小球在平衡位置时作为计时起点。求两弹簧同时被拉断时，a应满足的关系式。,解：取弹簧原长时小球的位置为坐标原点O，x轴竖直向下，如下图。,则小球的平衡位置为x0=mg/k。拉力作用后，小球向下运动，设在任意时刻t，小球位于x1处，x1也就是弹簧1在t时刻的伸长量。设此时刻弹簧2的伸长量为x2。则此时弹簧2作用于小球的弹性力为f2=kx2，方向向下，此力应当等于拉力F(t)，即f2=kx2=F(t)=at，由牛顿第二定律，小球的运动方程可以得到：,令2=k/m，将F(t)代入，可以
9、得到：,此方程对应的齐次方程的通解为(c1cost+c2sint)，其中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为g/2+at/k，所以方程的解为：,常数c1、c2可以由初始条件确定。当t=0时，小球位于x0=mg/k，初速度为零，所以有 c1=0，c2=-a/k，所以弹簧1的伸长量x1随时间t 的变化规律为：由已知条件知道：,设在t0时刻两个弹簧同时被拉断，即在t0时刻x1和x2同时达到lc，所以有如下表达式：即将 代入得到：,例8、一个表面光滑的楔形物体，斜面长为l，倾角为，质量为m1，静止于一个光滑水平桌面上。今将一个质量为m2的物体放在斜面顶端，让它自由滑下，如图所示。求当物体滑到桌
10、面时，楔形物体移动的距离和速度。,分析：动量守恒定律适用于系统，系统选择后，应当分清楚内力和外力，只有当系统的合外力为零时，系统的动量才守恒。动量守恒定律只适用于惯性系，系统内各质点的速度都是相对于同一个惯性系。如果以物体和斜面作为系统，他们在水平方向上不受外力，所以系统的水平分量动量守恒。另外，系统的机械能守恒，由此可以求出斜面的滑行速度。,解：设楔形物体对地的速度为v1，方向向左；物体m2对地的速度为v2，物体相对于楔形物体的速度为u，注意：u的方向总是沿着斜面向下，如图。由于系统的水平方向动量守恒，有联立求得：,所以楔形物体向左移动的距离为：在物体运动过程中，由于机械能守恒，有上面两式联
11、立，求得：,例9、ABC是一个有光滑弧形槽AC的木座，质量为m1，放在光滑的水平桌面上。弧形槽AC在C点与水平面正好相切。A点高出水平面的高度为h。今有一质量为m2的物体从顶端沿AC滑下，试求物体m2滑到C点时的速度。,解：选m1、m2为系统，此系统在水平方向不受外力作用，所以在水平方向的动量守恒。设m2滑到C点时的速度为v2，m1的速度为v1，且v1和v2的方向都沿水平方向，有：,联立上述方程求得：,又根据动能定理，有,变质量问题,这里所谓的变质量问题是指在运动的过程中主体排出或者吸附一部分质量的问题，一般可以运用动量定理来处理，具体方法如下：设在某时刻t主体质量为m，速度为v，在dt时间内
12、，吸附的物体为dm，速度为u（相对于与v相同的惯性系），因此在t+dt时刻，主体的质量变为m+dm，速度变为v+dv，这样在t到t+dt时间内，系统的动量变化为：忽略二阶小量dmdv，而u-v=vr为吸附前被吸附物质对于运动主体相对速度，则有：,由动量定理Fdt=dp可以得到：这里F是运动主体以及吸附物所受的外力。对于排出质量问题，上式仍然适用，而vr应理解为被排出的那部分物质在排出后相对于运动主体的相对速度，这时dm/dt0例9、雨滴在重力场中下落，下落过程中，水蒸气不断凝结为雨滴。如果视雨滴为球形，其质量增加率dm/dt正比于它的表面积，设开始时雨滴的半径近似为零，试求雨滴下落的速度和加速
13、度。,分析：这是一个变质量问题，不能用牛顿第二运动定律来求解，但是可用动量定理来求解。解：根据动量定理得到：雨滴下落过程中受到重力作用，所以F=mg，吸附前水气是静止的，即u=0，所以vr=-v，代入上式得到：上面式子可以改写成：,设水的密度为，则有：将上式对时间求导得到：由于dm/dt与雨滴的表面积成正比，即：得到：,所以：代入（1）得到：两边积分得到：代入m的表达式可以得到：,例10：一质量M的水桶，开始时静止，桶中装水m，以恒定作用力P将桶从井中提出，桶中水以不变速率从桶中漏出，经T时间后桶变空。求：变成空桶瞬时，桶速度等于多少？,解：分离体dm，相对速度为零，根据变质量问题可以得到：,讨论：当m=0时，有如下式子：,这就是恒定质量时的动量定理。,例11、如图所示，一个原长为l0的轻弹簧上端固定，下端与物体A相连，物体A受一个水平恒力F的作用，沿光滑水平面由静止向右运动。若弹簧的倔强系数为k，物体A的质量为m，则张角为时（弹簧仍处于弹性限度内）物体的速度u等于多少？,解：以物体、弹簧和地球为物体系。由于外力F做功，系统的机械能不守恒。设水平面上重力势能为零。则物体由初始位置移动到末了位置时，外力F所做的功为：,系统能量的变化为：由功能原理得：A外=E,
