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1、,2.1.2 导数的概念-可导与连续的关系,2023/9/9,导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,复习：,1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,3）由于,称为,f(x)在x0的右导数.,称为,f(x)在x0的左导数.,定理：f(x)在x0可导 f(x
2、)在x0的左,右导数存在且相等.,4）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。,5）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,区别：,是一常数。,是一函数。,联系：,即,函数,在点,处的导数,就是导函数,在,处的值，,注：通常，导函数也简称为导数,？,3.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量
3、不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,4.求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,5.导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,1）函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,2）求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,例:证明:(1)可
4、导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.,例7.问曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有垂直切线,二、新课：求导数举例,例1求函数,解：,即,例2求函数,解,即,即,如,又如,即,更一般地，对于幂函数,例3,解,即,类似可得,例4求函数f(x)=cos x的导数,解,例5,解,因此,所以,特殊地，当ae时，,(sin
5、 x)=cos x,(cos x)=-sin x,(ax)=axln a,特别地有(ex)=ex,例6 求对数函数y=log ax的导数,解,以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.,解,ysin x,故在点处 切线方程为,法线方程为,五、函数的可导性与连续性的关系,设函数y=f(x)在点x处可导，即,存在。,由具有极限的函数与无穷小的关系知道，,这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的。,如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。,注意：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。,所以，,则,例7 函数,由以上的讨论可知：,处不可导。,必要条件，但不是充分条件。,函数在某点连续是函数在该点可导的,例8函数,处不可导。,这是因为在点x=0处有,即导数为无穷大，,在原点O具有,在图形中表现为曲线,垂直于x轴的切线,显然，导数不存在。,解,例9 讨论函数,在x=0处不可导,在x=0处的连续性和可导性,判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,作业 P50 7-14,
