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1、层次分析法 建模方法及其应用,2012年7月4日,层次分析法建模方法及其应用,目录,一、数学建模核心思想二、层次分析法的产生背景三、层次分析法的基本步骤四、层次分析法的应用实例五、层次分析法的优缺点,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构（原型的专业模型）（数学模型）例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构（原型的专业模型）（数学模型）例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,2、数学模型（抽象模型）即对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内
2、在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构（原型的专业模型）（数学模型）例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,2、数学模型（抽象模型）即对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,3、数学建模即用数学工具建立数学模型的过程。,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的,层次分析法建模方法及其应用,二、层次
3、分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析
4、法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类 毕业去向：考研、找工作、考公务员、出国,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人们在作比较、判断、评价、决策时，经济、社会、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人们在作比较、判断、评价、决策时
5、，经济、社会、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。T.L.Saaty等人在七十年代提出一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（Analytic Hierarchy Process.简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 最高层 目标层 中间层 准则层 最底层 方案层,目标层,准则1,准则2,准则3,方案1,
6、方案2,方案3,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵）两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵）两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。（1）符号说明 表示层次结构中某一层中第 个因素 表示，对上一层某因素的影响之比
7、,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）用19比较尺度法确定 的取值 尺度 含义 1 与 的影响相同 3 比 的影响稍强 5 比 的影响强 7 比 的影响明显强 9 比 的影响绝对地强 2、4、6、8 与 的影响之比在上述相邻等级之间 19的倒数 与 的影响之比与上述相反（“强”改为“弱”）,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（3）正互反矩阵 其中,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,补充：若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。,层次分析法建模方法及其应用,补充：
8、若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。设 阶正互反矩阵 的特征根为，（1）当 时，为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。,层次分析法建模方法及其应用,补充：若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。设 阶正互反矩阵 的特征根为，（1）当 时，为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。（2）当 时，不一致。（可在一定范围内允许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征向量表示。,层次分析法建模方法及其应用,补充：若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。设 阶正互反矩阵
9、 的特征根为，（1）当 时，为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。（2）当 时，不一致。（可在一定范围内允许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征向量表示。注意：必须对不一致的正互反矩阵进行一致性检验，以保证其在一定范围内可以使用。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间）（1）计算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小二乘法、最小二乘法”求矩阵的特征根和特征向量。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间）（1）计
10、算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小二乘法、最小二乘法”求矩阵的特征根和特征向量。现介绍最简便的“和法”，即取列向量的算术平均：将 的每一列向量归一化得 对 按行求和得 将 归一化 即为近似特征向量 计算，作为最大特征根的近似值。,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量归一化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量归一化,按行求和,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量归一化,按行求和,归一化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量归一化,按行求和,归一化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量
11、归一化,按行求和,归一化,注：精确计算可得,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）一致性检验 一致性指标,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标，即 的平均值。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标，即 的平均值。构造一致性比率,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标，即 的平均值。构造一致性比率 若，则 的不一致程度在容许范围内。若，则误差较大，需要调整。,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致
12、性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层
13、各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。第二层对第一层的权重为,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合
14、一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。第二层对第一层的权重为 第三层对第二层各准则的权重为 可构成矩阵,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（1）计算组合权向量 由上述权向量可计算第三层对第一层的组合权向量为 即 矩阵与 矩阵的乘积可得 矩阵（维列向量）,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色),方案层对C2(费用
15、),层次分析法建模方法及其应用,方案层对C3(居住),方案层对C4(饮食),方案层对C5(旅途),组合权向量,RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验,w(2),方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤（2）进行组合一致性检验（逐层进行）若第三层对于第二层的一致性指标为 随机一致性指标为 第二层对第一层的一致性比率为 则第三层对第一层的组合一致性比率为 若，则认为整个层次的比较判断通过一致性检验。,层次分析法的基本
16、步骤小结,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析法建模方法及其应用,四、层次分析法的应用实例 应用领域：经济计划和管理、能源政策和分配、人才选拔和评价、生产决策、交通运输、科研选题、产业结构、教育、医疗、环境、军
17、事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成对比较矩阵是数量依据，应有经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点（1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。,层次分析法建模方法
18、及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点（1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。（2）实用性：层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，且使决策者与决策分析者相互沟通，增加了决策的有效性。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点（1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典
19、的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。（2）实用性：层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，且使决策者与决策分析者相互沟通，增加了决策的有效性。（3）简洁性：层次分析的基本原理和基本步骤比较容易掌握，计算简便，结果明确，容易为决策者了解和使用。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性：（1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性：（1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。（2）比较、判断直到结果都比较粗糙，不适于精度要求很高的问题。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性：（1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。（2）比较、判断直到结果都比较粗糙，不适于精度要求很高的问题。（3）从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，有时候得到的决策结果可能难以为众人接受。不过可以通过专家群体判断的方法来克服。,
