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1、第2章 投影法基础,返回总目录,教学提示：为将空间物体在图纸上表达出来，即将三维空间中的立体用二维平面上的图形来表示，工程中采用投影的方法来实现。投影法分为中心投影法和平行投影法，其中，平行投影法又分为正投影法和斜投影法两种。为了清楚地表达空间物体的真实形状和大小，在工程中一般采用正投影的方法获得一组图形来设计和表达工程对象，这一组图形称为三面投影(正面投影、侧面投影和水平投影)，在工程上又称为视图。有时，还需要用平行投影法获得立体感较强的轴测图来进行辅助性的观察和看图。本章主要介绍投影法的基本概念、三面投影的基本画法和常用轴测图的画法。教学要求：本章要求学生重点掌握正投影法和轴测投影的基本概
2、念及投影规律，并学会应用正投影法获得物体的三面投影。,2.1 投影法基础知识 2.2 三投影面体系与物体的三面投影 2.3 轴测图的基本概念,本章内容,2.1 投影法基础知识,在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在墙壁或地面上出现了物体的影子，这是一种自然的投影现象。人们发现，空间物体在一个平面上留下了影子，该影子反映出物体一定形状。根据这种现象，人类总结了这种投影现象的几何关系，创造了投影法，解决了用平面图形来表达空间物体的问题。1.投影法的基本概念 假想用光线照射物体，使物体在平面上留下影子的方法就称为投影法。分别将光线、平面和影子抽象为投射线、投影面和投影，因此投影就是通过物体
3、的投射线与投影面的交线。用工程理论的术语来描述，我们把一定条件下、一系列投射线通过表达对象与投影面交点的总和，称为图像。此图像也称为该表达对象在该投影面上的投影，而获得投影的方法称为投影法，如图2.1所示。投影法是平面上表示空间形体的基本方法，是画法几何及工程制图的基础。,2.1.1 投影法的基本概念,综上所述，投影法所具备的条件如下：(1)投射中心以及从投射中心出发的投射线。(2)不通过投射中心的投影面。(3)表达对象(几何要素或物体)。2.投影法的分类 工程上常用的投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类，如图2.1所示。其中，平行投影法有正投影法和斜投影法之分。1)中心投影法 投射线从一
4、点发出来的投影法称为中心投影法，用中心投影法得到中心投影，如 图2.1(a)所示。中心投影一般用于表达较大的场景或目标，例如地貌、建筑物等，这种投影形成的图形称为透视图。透视图的立体感很强，常作为一种效果图，不注重于物体尺寸的表达，如图2.2所示。,2.1 投影法基础知识,2.1.1 投影法的基本概念,(a)中心投影法(b)平行投影法,图2.1 投影法及其分类,2.1 投影法基础知识,2)平行投影法 投射线互相平行的投影法称为平行投影法，如图2.1(b)所示。其中，投射线垂直于投影面时的平行投影法称为正投影法；,图2.2 透视图,2.1 投影法基础知识,投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影
5、法。而用正投影法和斜投影法分别得到的投影称为正投影和斜投影。用正投影能直接和方便地表达空间物体的真实形状、大小和空间位置，所得到的图形广泛地用于工程图样，因此我们常将正投影简称为投影，如图2.3(b)所示。在用正投影法表达一个空间物体时，往往是将该物体的主要表面或主要轮廓线平行于投影面放置，这样得到的投影能够真实地反映物体在该投影方向上的形状和大小。但物体的一个投影不能唯一确定其各个方向的形状、大小和位置，因此工程上常常将物体置于一个多投影面体系，用一组正投影从各个方向来表达物体。如图2.3(b)所示的投影图就是用一组两面正投影来表达一个工程对象的投影图。如果将物体相对于投影面倾斜放置而采用正
6、投影法、或者将物体正放而采用斜投影法，可以在同一投影面上表达物体3个方向的形状，这种投影称为轴测投影，如图2.3(c)所示。轴测投影的立体感强，直观性好、容易看懂，它对于人们理解和掌握物体的形状十分有利，但其尺寸的度量性却不如多面正投影图，因此在生产和设计中常作为辅助图样或商业广告。,2.1 投影法基础知识,(c)轴测投影,(a)表达对象,(b)多面正投影,2.1 投影法基础知识,2.1.2 平行投影的基本性质,平行投影有如下基本性质：1)实形性当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。如图2.4所示，直线DC、GH、JB和KA等均平行于V面，在V面上的投影反映实长，如。平面BCD
7、GHJ平行于V面，在V面上的投影反映实形。2)积聚性当直线或平面图形平行于投射线时，其投影积聚成点或直线。在如图2.4所示中，直线AR、KQ等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一点；平面EFML、FGHOM等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一条线。,2.1 投影法基础知识,图2.4 平行投影的投影特性,2.1 投影法基础知识,3)类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形，但直线或平面图形的投影均小于实长或实形。像这种原形与投影间不相等也不相似，而两者的边数、凸凹、曲直、平行关系不变的性质称为类似性。在图2.4中，平面四边形ABJK、EFGD在V面
8、上的投影为类似的四边形、。4)平行性如果空间直线平行，则它们投影仍然相互平行。在图2.4中，EF、GD相互平行，它们在V面上的投影、仍然相互平行。5)从属性,2.1 投影法基础知识,2.1.2 平行投影的基本性质,几何元素的空间从属关系在投影中不会发生改变：属于直线的点的投影必定落在直线的同面投影上，属于平面的点和线的投影必定落在平面的同面投影上。如图2.4所示，S点在直线KJ上，S点的投影 一定在 上。,6)定比性(1)若空间直线上一点把该直线分成两段，则该两线段之比，必等于其投影之比。如图2.5(a)所示，点K在直线AB上，其投影必在ab上(从属性)，且由于Aa/Kk/Bb，故有AKKB=
9、akkb。(2)空间平行线段的长度之比，等于其投影之比。如图2.5(b)所示，分别过F和G作fe和gh的平行线，可得到两个相互平行的相似三角形及矩形，从而得EFHG=efhg。,2.1 投影法基础知识,2.1.2 平行投影的基本性质,(b),(a),图2.5 平行投影的定比性,2.1 投影法基础知识,从图2.6中的4个立体图的投影情况可知，当从上往下进行投影时，它们获得的投影相同，均为一对同心圆。这说明，一个投影不能唯一地表达物体的形状，因此必须建立一个投影面体系，将物体同时向几个投影面进行投影，用多个投影图来确切地、完整地表达空间物体。这种方法获得的一组投影称为多面正投影，亦简称为投影。,2
10、.2 三投影面体系与物体的三面投影,图2.6 不同物体在同一投影面上的投影相同,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,2.2.1 三投影面体系,我们知道，笛卡儿直角坐标系将三维空间分为8个象限(分角)，每个象限的位置如图2.7(a)所示。在国家标准GB/T 4458.12002中规定，我国采用第一分角投影法(简称第一角画法)绘制图样，而国际上有的国家(如美国、日本等)则采用第三角投影法(简称第三角画法)。在第一分角中，由正立投影面V、水平投影面H和侧立投影面W共3个相互垂直的投影面(分别简称为V面、H面和W面)构成的投影面体系称为三投影面体系，如图2.7(b)所示。三投影面两两相交产生的交线O
11、X、OY、OZ，称为投影轴，简称为X轴、Y轴和Z轴。,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,图2.7 投影体系,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,如图2.8(a)所示，将物体置于三投影面体系中，用正投影法分别向3个投影面投影后，得到了物体的三面投影。国家标准规定：正面投影是对物体由前向后进行投影，在正面上所得到的投影。水平投影是对物体由上向下进行投影，在水平面上所得到的投影。侧面投影是对物体由左向右进行投影，在侧面上所得到的投影。如图2.8(b)和图2.8(c)所示，投影后将物体移开，V面保持不动，将H面连同其投影绕X轴向下旋转90，W面连同其投影绕Z轴向右旋转90，使它们与V面处于同一平
12、面上，并约定投影轴和投影面的边框略去不画，从而得到物体的三面投影，如图2.8(d)所示。,2.2.2 三面投影的形成,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,图2.8 三面投影的形成,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,上述投影过程表明，一旦物体在投影面体系中的位置确定，并规定X、Y、Z轴方向分别为物体的长、宽、高3个方向如图2.9(a)所示，则空间物体与其平面投影以及我们所熟悉的空间直角坐标系就有了一一对应的关系。实际上，我们还可以这样来理解三面投影的形成过程：所谓物体的正面投影，可看成是令该物体的空间坐标值Y=0后获得的平面投影图，即完成了该物体从三维
13、空间向二维平面的转换。因此正面投影仅反映出物体的长(X)和高(Z)方向的形状和大小；同理，物体的水平投影即是令Z=0，而侧面投影则是令X=0，因此，物体的水平投影仅反映出物体的长(X)和宽(Y)，侧面投影仅反映出物体的宽(Y)和高(Z)。,2.2.3 三面投影的投影规律,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,根据物体与其三面投影的位置和对应关系，可反映出以下几个特点：(1)三面投影之间的位置配置关系是：水平投影在正面投影的正下方，侧面投影在正面投影的正右方。(2)三面投影之间的对应关系是：每个投影反映物体长、宽、高中的两个方向的大小。正面投影和水平投影同时反映物体的“长”；正面投影和侧面投影同
14、时反映物体的“高”；水平投影和侧面投影同时反映物体的“宽”。由此而得到以下的三面投影规律(又称三等关系)：正面投影与水平投影长对正。正面投影与侧面投影高平齐。水平投影与侧面投影宽相等。(3)三面投影与物体6个方位的关系是：正面投影反映物体的上、下、左、右4个方位；水平投影反映物体的前、后、左、右4个方位；侧面投影反映物体的上、下、前、后4个方位。,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,图2.9 三面投影的投影规律,2.2 三投影面体系与物体的三面投影,多面正投影图用多个投影图准确地、真实地反映出物体的长、宽、高3个方向的形状和大小，作图简便，标注尺寸也很方便，广泛地应用于工程设计和制造领域，但
15、这种图样的立体感较差。轴测图是工程中常采用的另一种图样，它是在单一的投影面上同时反映物体的三维方向的表面形状，立体感强，比较符合人们的视觉习惯，但由于它的度量性较差，作图过程也比多面正投影复杂，因而在工程上仅作为辅助图样或效果图，用以帮助人们看图和进行空间想象。,2.3 轴测图的基本概念,2.2.3 三面投影的投影规律,对同一物体分别采用三面投影和轴测投影绘制的两种图形，如图2.10所示。,2.3.1 轴测图的基本知识,图2.10 多面正投影图与轴测图,2.3 轴测图的基本概念,1.轴测图的形成和投影特性用平行投影法将物体连同确定物体空间位置的直角坐标系一起投射到单一影面，所得的投影图称为轴测
16、图，如图2.11(a)所示。,图2.11 轴测图的形成和投影特性,2.3 轴测图的基本概念,由于轴测图是用平行投影法得到的，因此具有以下投影特性：(1)空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。(2)空间立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必 与轴测轴互相平行。(3)空间立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。2.轴测图的基本术语 轴测图的基本参数如图2.11所示。(1)轴测投影面：轴测图中的投影面称为轴测投影面。它是一个单一的投影面。一般用大写的拉丁字母表示，如图中的P面。(2)点的轴测投影：过空间点的投射线与轴测投影面的交点称为该点的轴测投影。本章中约定
17、，用带有下角标1的大写拉丁字母表示，如A1、B1等。,2.3 轴测图的基本概念,2.3.1 轴测图的基本知识,(3)轴测轴：确定空间物体的坐标轴OX、OY、OZ在P面上的投影称为轴测投影轴，简称轴测轴，记为O1X1、O1Y1、O1Z1。(4)轴间角：轴测轴之间的夹角称为轴间角，记为X1O1Y1、Y1O1Z1、Z1O1X1。(5)轴向伸缩系数：由于形体上3个坐标轴对轴测投影面的倾斜角度不同，所以在轴测图上各条轴线长度的变化程度也不一样，因此把轴测轴上的线段与空间坐标轴上对应线段的长度比，称为轴向伸缩系数。如图2.11(b)所示，设A点为单位坐标(u，u，u)，则经过投影后，A点轴测投影A1的坐标
18、为(i，j，k)，则X，Y，Z轴的伸缩系数为：,，,，,2.3 轴测图的基本概念,画轴测图时，只要首先按轴间角的大小画出轴测轴，然后按相应的轴向伸缩系数沿轴向测量就可画出轴测图。因此，“轴测”的含义就是沿轴向测量的意思。3.轴测图的分类1)根据投射方向与轴测投影面的相互位置分类根据投射方向与轴测投影面的相互位置，轴测图可分为以下两大类。(1)正轴测图：投射方向垂直于轴测投影面，如图2.12(a)所示。(2)斜轴测图：投射方向倾斜于轴测投影面，如图2.12(b)所示。,2.3 轴测图的基本概念,图2.12 轴测图的分类,2.3 轴测图的基本概念,2)根据选定的不同轴向伸缩系数分类在每一类轴测图中
19、，根据选定的不同轴向伸缩系数，轴测图又可分为以下3种。(1)正(或斜)等轴测图的轴向伸缩系数p=q=r。(2)正(或斜)二轴测图的轴向伸缩系数p=rq。(3)正(或斜)二轴测图的轴向伸缩系数prq。3)勾画立体草图为了作图方便，工程上常用正等测图和斜二轴测图来勾画立体草图。(1)正等测图。当三根坐标轴与轴测投影面倾斜的角度相同时，用正投影法得到的投影图称为正等测图，简称正等测。由于空间坐标轴OX、OY、OZ对轴测投影面的倾角相等，可计算出其轴间角，其中O1Z1轴规定画成铅垂方向，如图2.13(a)所示,2.3 轴测图的基本概念,根据三根坐标轴与轴测投影面倾斜的角度相同，由理论计算可知：三根轴的
20、轴向伸缩系数为p=q=r=0.82，但为了作图方便，通常用简化伸缩系数“1”。用此轴向伸缩系数画出的图形其形状不变，但比实物的实际轴测图放大1.22倍，如图2.13(b)所示。,图2.13 正等测图的轴间角和轴向伸缩系数,2.3 轴测图的基本概念,(2)斜二等轴测图。如果使XOZ坐标面平行于轴测投影面，采用斜投影法，得到的轴测图称为斜二等轴图，简称斜二测。由于XOZ坐标面平行于轴测投影面，在这个坐标面的轴测投影反映实形，因此斜二等轴测图的轴间角是：Z1O1X1=90，这两根轴的轴向伸缩系数为p=r=1；O1Y1与水平线成45，即X1O1Y1=Y1O1Z1=135，其轴向伸缩系数一般取为q=0.
21、5。如 图2.14(a)所示。由如图2.14(b)所示的斜二测图可知：平行于XOZ坐标面的圆的斜二等轴测投影反映实形，作图十分简便。但平行于XOY，YOZ两个坐标面的圆的斜二测投影将变形为椭圆，这些椭圆的短轴不与相应的轴测轴平行，且作图较繁。因此，斜二等轴测图一般用来表达只在一个方向上互相平行的平面内有圆或圆弧的立体，这时只要把这些平面选为平行于XOZ坐标面即可。,2.3 轴测图的基本概念,图2.14 斜二测图的轴间角和轴向伸缩系数,2.3 轴测图的基本概念,1.用坐标法绘制直线AB的轴测投影轴测图的基本作图方法一般采用坐标法。作轴测图时，首先应选择好轴测图的种类，即确定好轴间角和轴向伸缩系数
22、。为使表达清晰及作图方便，通常将轴测轴Z1画成垂直方向，再根据轴间角画出另两个轴测轴 和。已知A(30，50，10)，B(0，10，40)。轴间角,2.3.2 轴测图的基本作图方法,，轴向伸缩系数,作图步骤如下：(1)根据轴间角，画出轴测轴如图2.15(a)所示。(2)在 轴上，取，在 轴上取。过 点作直线 平行于，过 点作直线 平行于，两直线相交于a点。过a点作直线 平行于，且=10。得到 点，如图2.15(b)所示。,2.3 轴测图的基本概念,(3)在Y1轴上取。过 点作直线 平行于，且。得到 点。连接 两点，即得直线AB的轴测投影。,(a)(b),图2.15 直线的轴测投影,2.3 轴测
23、图的基本概念,2.平行于各坐标面的圆的轴测图 在工程零件中常见的一类基本立体是回转体，如圆柱、圆锥、圆球等。回转体的轴测图主要涉及到垂直于回转轴的圆的轴测图。圆的轴测投影一般情况下会变形为椭圆。对应各种不同类型的轴测图，椭圆的长短轴的比例会不一样，与相应轴测轴的夹角也会因此而不一样。本节仅介绍平行于各坐标面的圆的正等测和斜二测。1)平行于各坐标面的圆的正等测 平行于坐标面的圆的正等测图(如图2.16所示)，可采用坐标法绘制(绘图步骤如图2.17所示)，这种作图方法虽然较为精确，但很繁琐，对于参考图形或效果图来说也没有必要。工程上常用几何上推导出的一种近似画法(仅适用于正等测图)来绘制。即将正等
24、测图中的椭圆近似看成是四段圆弧相切而成。作图时只要找到这四段圆弧的圆心和切点，即可画出，因此称这种近似画法为“四心椭圆法”。现以平行于水平投影面的圆的正等测图为例，说明四心椭圆法的作图方法，其作图步骤如图2.18所示,2.3 轴测图的基本概念,图2.16 平行于坐标面的圆的正等测,2.3 轴测图的基本概念,(a)等分X轴并作Y轴的平行弦,(b)作平行弦的正等测,(c)光滑连接得椭圆,图2.17 用坐标法绘制平行于水平投影面的圆的正等测,2.3 轴测图的基本概念,(a)定轴测轴，画圆的外切正方形,(b)画圆外切正方形的正等测,2.3 轴测图的基本概念,(c)定四个圆弧的圆心1、2、3、4,(d)
25、以3、4为圆心画大圆弧,(e)以1、2为圆心画小圆弧,图2.18 用四心椭圆法绘制平行于水平投影面的圆的正等测,2.3 轴测图的基本概念,2)平行于各坐标面的圆的斜二测 平行于XOZ面的圆的斜二测仍为直径与之相同的圆，而平行于XOY和YOZ面的圆的斜二测则均为椭圆。该两椭圆的形状大小相同，但长、短轴的长度不同，长短轴的长度分别为1.06d和0.33d(d为圆的直径)，用它们的长轴分别 与 轴和轴成 角，如图2.19所示,图2.19 平行于坐标面的圆的斜二测,2.3 轴测图的基本概念,平行于坐标面的圆的斜二测绘制方法也有坐标法和近似画法(四心椭圆法)两种。但由于在两根轴的轴向伸缩系数有一个不为1的轴测投影面上画圆较为繁琐，因此，一般当立体上出现不平行于轴测投影面的圆的结构时，可避免采用斜二测而用正等测画图。以上介绍的三面投影图和轴测投影图都是建立在投影法和投影原理基础之上的。工程对象的设计、表达与交流，主要是采用正投影法获得多面投影，即采用一组投影从不同的角度来共同表达一个物体。这一组投影之间存在着一个重要的关系，即“长对正、高平齐、宽相等”，也可简称为“三等关系”。这是贯穿于整个课程内容始终的一条基本原理和分析法则，可以说本课程所有的分析方法都是建立在这一重要关系之上的。,2.3 轴测图的基本概念,
