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1、工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,(38),（下册）,20.7 动力学基本定理的综合应用,动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心运动定理）及动量矩定理。,重点：,综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统的动力学问题。,难点：,针对具体问题，选择适当的求解思路，应用适当的定理，使求解过程尽量简洁。,解题指导：,1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进行计算。,2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。,动能定理,标量方程，仅可求未知量大小,仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）,矢量方程（可列投影方程）
2、，可求未知量大小和方向,只与外力系的主矢有关,动量矩定理,本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程,矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单,动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒,各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态,3.选用定理的基本原则,（1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速度或位移）。,（2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理（理想约束力不作功），可用其他几个定理。,（3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是路程的函数或力的功容易
3、计算时，优先考虑用动能定理求速度或角速度。,（4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；进一步求约束力可用其他定理。,（5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。,（6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。,（7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速度、角加速度），需要列出运动学补充方程
4、（如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。,（8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。,例 题 20-7,20 动量原理,例题,图示均质细杆AB质量为m,长为L,其B端与光滑水平面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为。试求杆无初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。,对杆进行受力分析：,建立图示直角坐标系,解:,杆受重力和地面支持力，,由于，且初始,根据质心运动守恒，有,例 题 20-7,20 动量原理,例题,(4),对时间求导：,(1),由质心运动定理：,(3),对质
5、心C的动量矩定理,例 题 20-7,20 动量原理,例题,联立(2)(3)(4)解得：,例 题 20-8,20 动量原理,例题,位于铅垂平面的均质杆AB和BD,长度均为L，重量都是P，杆AB的A端固定铰支，B端与杆BD铰接。杆BD的D端与可铅垂滑动的滑块D铰接。今用一细绳将B点拉住,使杆AB和BD位于同一直线上,该直线与水平面间的夹角为，系统保持平衡,各处摩擦和滑块D的质量与大小略去不计。,试求（1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块D的约束力（2）杆AB运动至水平位置时,杆AB的角速度,例 题 20-8,20 动量原理,例题,1.求剪断绳子后滑槽对滑块D的约束力,由于初瞬时两杆角速度 和均为零，故,
6、解：,设AB杆有顺时针角加速度，BD杆有逆时针角加速度,以B点为基点分析D点的加速度：,绳剪断后，AB杆定轴转动，BD杆作一般平面运动，,在初始瞬时，,例 题 20-8,20 动量原理,例题,分别在x，y方向投影：,对BD杆的质心C有：,例 题 20-8,20 动量原理,例题,取BD杆为研究对象，受力如图，BD杆作一般平面运动。,列BD杆的质心运动方程：,对BD杆列关于质心C的动量矩方程：,(3),例 题 20-8,20 动量原理,例题,取AB为研究对象，受力如图，AB杆作定轴转动，列对定点A的动量矩方程，有：,(4),考虑到：,及,例 题 20-8,20 动量原理,例题,联立求解,例 题 2
7、0-8,20 动量原理,例题,2.求剪断绳子后杆AB运动至水平位置时的角速度,取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。,位置1：剪断的瞬间，两杆角速度均为零，BD杆质心速度也为零。,位置2：当AB杆定轴转动至水平位置时，设AB杆角速度为，此时BD杆为瞬时平动。,例 题 20-8,20 动量原理,例题,系统在运动过程中重力所作的功：,例 题 20-9,20 动量原理,例题,两根均质杆AD,BD质量都是M,长度都为L，用光滑的铰链D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是。求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链D的速度和加速度，并求水平面的支持力。,解：系统由于
8、质量分布和受力对称，以及所给的初始条件，将保留在原铅直平面内运动，它的位置用 角确定。,例 题 20-9,20 动量原理,例题,取整个系统为研究对象，受力如图。应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心运动定理求地面支持力。,(1)求铰链D的速度和加速度,由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系Oxy，,例 题 20-9,20 动量原理,例题,在系统的运动过程中，系统的初速度等于零，因此系统的质心C在水平方向的位置守恒，即C将沿铅垂线下降。,故D点也沿铅垂线下降，D点速度为铅垂方向。,初始时动能，,系统在任意位置的动能：,例 题 20-9,20 动量原理,例题,而,例 题 20-9,20
9、动量原理,例题,运动中仅有系统的重力作功：,代入 得：,还可由 求得：,（）,例 题 20-9,20 动量原理,例题,D点加速度也为铅垂方向，故可由D点速度求导得到。,由于,例 题 20-9,20 动量原理,例题,求水平面的支持力,根据质心运动定理，得：,由对称性得,又由于,例 题 20-10,20 动量原理,例题,均质圆盘I，II的半径均为R，质量均为m，绕有无重的细绳，求系统从静止开始运动时，（1）轮II中心B的加速度。（2）绳子的张力。,解：,系统为2个自由度，所受外力为重力和铰支座A处的约束力。,（1）求轮II中心B的加速度,设轮I角速度为，角加速度为，轮II角速度为 角加速度为。,建立固连于绳上的平动坐标系，则轮II的相对运动为沿DE的纯滚动，轮心B的速度为：,例 题 20-10,20 动量原理,例题,(),以整体为研究对象，系统外力对定点A之矩为零，故由动量矩守恒：,求导：,例 题 20-10,20 动量原理,例题,以轮II为研究对象，,对定点D列轮II的动量矩定理：,对轮II：,代入得：,(),还可得到：,例 题 20-10,20 动量原理,例题,（2）求绳子的张力,对轮II，列对质心B的动量矩定理：,即：,（拉力）,
