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1、弯曲变形：挠曲线近似微分方程-积分法、叠加法。,第六章 弯曲变形,1.挠度,某一横截面的形心在垂直于梁的轴线的y 方向的位移。用 w 表示称为该截面的挠度.用w表示.,2.转角,梁的横截面对其原来位置转过的角度,称为该截面的转角.用 表示,3.挠度与转角的关系,1、用积分法计算弯曲变形,设梁的某一段为等截面梁，EI为常数，如果已知梁的弯矩方程M(x)，可以解出梁的挠曲线方程w=w(x)，转角方程=(x)。一、积分公式：,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,例题1：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和w max。,解：、如图建立坐
2、标系，列弯矩方程：,(2)、列挠曲线近似微分方程并进行积分：,得转角方程,得挠曲线方程,二、积分常数的确定：梁上某些特殊位置的截面，其位移是已知的，可以确定积分常数。1、边界条件：在挠曲线的某些特殊点上，挠度值或转角值等于零。这些已知的位移条件或位移约束条件，称为边界条件。,变形的对称点上：w 0，=0；,2、连续条件：挠曲线是一条光滑、连续的曲线，在挠曲线任意点上，有唯一的确定的w和，挠曲线在分段处应满足光滑、连续条件,即分段处左右两截面应具有相同的w和。如：w左=w右，左=右；,接例题1：、确定积分常数：由边界条件：,、梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,、最大转角和最大挠度分别为：,负号表
3、示截面为顺时针方向转动：正号表示截面为反时针方向转动。,2 用叠加法计算弯曲变形,1.叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后按代数值叠加。,2.叠加原理的限制：载荷与它所引起的变形成线性关系。因此要求（1）材料是线弹性材料，服从胡克定律；（2）弯曲变形很小。,叠加法求弯曲变形,载荷叠加法:分解载荷,适用于求解简支梁或者悬臂梁同时受到几种载荷共同作用下的变形变形叠加法(逐段刚化法):分解梁,适用于求解外伸梁或者变截面梁求解时将梁分解为几段简单静定梁,各段梁除受本梁段的
4、载荷外,还应考虑其他段梁所受载荷的影响。习惯上将二者统称为叠加法。,例题5：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,解：、假想将外伸梁分成两部分，AB段为简支梁；BC段为悬臂梁。截面B处有剪力P2和弯矩m。,、分析AB段的变形：截面B处有剪力P2和弯矩m：P2=q a，m=qa2/2。在m作用下，B处的转角：,在 P1作用下，B处的转角：,B处的转角之和：,、分析BC段的变形：在q作用下，C处的挠度和转角：,、由于B引起的C点处的挠度和转角（BC可看作刚体）,、外伸梁的端的转角和挠度：,单元体的特点；单元体上应力的表示和方向；主应力、主单元体；斜截面应力的一般公式-应力转化公式。应力圆的画法及应力圆
5、的应用,应力状态分析问题：给定单元体，计算给定斜截面上的应力，画出应力圆。复习重点：,第七章 应力应变分析,单元体的特点：、由于单元体无穷小，可以认为它的每个侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。（3）、单元体相互垂直的两个侧面符合切应力互等定理。,平面应力状态分析-解析法,有关符号规定：正应力：拉应力为正。切应力：绕单元体内任一点顺时针旋转的为正。夹角：由x轴为始边，转到斜截面的外法线n,逆时针转向时的角度为正，反之为负。,极值正应力max、min,极值正应力所在平面的方位角0,（主应力）,（
6、主平面方向）,可以求出两个角度值：0、0+/2，其中一个是最大正应力max 所在平面，另一个是最小正应力min 所在平面。,极值切应力max、min：,极值切应力所在平面的方位角1：,二、应力圆的画法：,1、在单元体上选定x、y 轴，确定x、y、x、值。通常取 xy。,2、建立-坐标轴，按选定的比例量取（x、x）定A点。,A点对应于单元体中以x轴为法线的侧面上的应力，它是角度 2的起点。,3、量取（y、y）定B点。B点对应于单元体中以y轴为法线的侧面上的应力.,4、连接AB两点，定圆心C点，过A、B点作圆，即得应力圆。,三、应力圆的应用：,1、利用应力圆，可以方便求出任意斜截面上的、：,注意几
7、种对应关系：点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向截面上的正应力和切应力；,、转向对应应力圆半径旋转方向与微元方向面法线旋转方向一致；、二倍角对应应力圆半径转过的角度等于微元方向面旋转角度的两倍。（注意：点A代表哪个面),可知：P1（max、0）点代表最大正应力所在的主平面；P2（min、0）点代表最小正应力所在的主平面。,分析应力圆上的P1和 P2：,2、利用应力圆，可以确定单元体的主应力及主平面方位：,3、利用应力圆，可以确定单元体的极值切应力及其平面方位：,可知：P3 点代表最大切应力所在的平面；P4 点代表最小切应力所在的平面。,用解析法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应
8、力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)极值切应力值。单位：MPa,解：用解析法求解,x,y,、计算指定截面上的应力：,n,、计算主应力及其平面位置：,、计算极值切应力：,x,用图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向；(3)极值切应力值。,解：作应力圆，从应力圆上可量出：,x,组合变形问题：简单的转轴-弯扭组合变形，画出相应的内力图，利用强度理论，进行主应力强度校核。复习重点：,四个强度理论 相当应力；主应力强度校核；拉压与弯曲组合变形的强度分析 弯扭组合变形的强度分析。,第八章 强度理论及组合变形,相当应力:,主应力强度校核：复杂应力
9、状态下，构件的强度校核，实际是主应力强度校核。根据危险点的应力状态分析，求出主应力1、2、3，按照相应的强度理论，求出相当应力r与许用应力比较。,(1)将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件 在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形;（2）分析每种载荷的内力，确定危险截面的危险点位置；（3）计算各基本变形下危险点的应力，并将同类应力进行叠加（4）选择强度理论，对危险点进行强度校核。,组合变形强度校核的基本步骤：,1）.当危险点处的应力状态为单向应力状态或纯剪切状态时,故其强度条件为:,注意：,2）.当危险点的应力为复杂应力状态,选择合适的强度理论校核,3）当材料的许用拉应力和许用压
10、应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.,确定A、W中的截面尺寸时，此公式为一元三次方程。常采用一种简化方法：当弯曲正应力为主要影响因素时，可以先按弯曲强度条件进行初步计算，将结果放大，再代入上式校核。,一、拉压与弯曲组合变形的强度条件：,1、内力分析,设一直径为d 的等直圆杆AB,在C端作用一载荷F.研究AB杆的内力.,将力 F 向 AB 杆右端截面的形心B简化得,横向力 F（引起平面弯曲）,力偶矩 M=Fa（引起扭转）,AB 杆为弯曲与扭转组合变形,二、弯扭组合变形的强度分析：,画内力图确定危险截面,固定端A截面为危险截面,Fl,2、应力分析（Stress analysis）,危
11、险截面上的危险点为C1 和 C2 点,最大扭转切应力发生在截面周边上的各点处.,危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1、C2 处,对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1 来研究.,C1 点处于平面应力状态,该点的单元体如图示,轴上危险点的应力状态如图所示：,确定主应力：,利用第三强度理论确定强度条件：,单元体主应力为：,圆轴在弯扭组合变形下的强度条件，可以直接利用公式进行计算,公式中应用Wz，而不是 Wt,单元体主应力为：,利用第四强度理论确定强度条件：,可以直接利用公式进行计算,公式中应用Wz，而不是 Wt,如图所示传动轴AB，由电动机通过联轴器带动，输入功率为13KW，轴的转速为120 r/min。作用在截面A上的扭矩为 m 1。带轮安装在截面E处，产生的横向力F=20KN，阻力偶矩为 m 2。轴承C、B间距L=200mm。轴用材料为Q235，轴上E截面处的直径为40 mm,许用应力=160MPa。试按第三或第四强度理论校核轴的强度。,解：、传动轴变形情况分析：扭矩m1、m 2 引起轴上AE段发生扭转变形，横向力F引起轴上CB段发生弯曲变形。,、作内力图：轴的弯矩图和扭矩图如图所示。,由图可见E截面为危险截面，此截面的弯矩和扭矩分别为：,、应用第三强度理论进行强度校核：,故该轴不能满足强度要求。,
