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1、第四章 量纲分析与相似理论,量纲分析与相似理论,量纲分析的基本概念 量纲分析法,流动相似的基本概念,流动相似的基本准则,相似原理的应用,第四章 量纲分析与相似理论,量纲分析与相似理论,一、本章学习要点:,量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲基本物理量、无量纲量、量纲齐次性,量纲分析方法：瑞利法、定理,流动相似的基本概念：几何相似、运动相似、动力相似,模型实验设计方法,相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧拉准则,第四章 量纲分析与相似理论,二、本章重点掌握:,相似理论及其应用,量纲分析方法,第四章 量纲分析与相似理论,量纲分析的基本概念,一、单位与量纲,1.单位：表征物理量的大小,如m、cm、mm；
2、小时、分、秒等。,2.量纲：表征各物理量单位的种类,如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。,第四章 量纲分析与相似理论,二、基本量纲,1.基本量纲具有独立性、唯一性,在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它的物理量的量纲可用基本量纲表达，如,流速：dimvLT1,密度：dimML3,力：dimFMLT2,dimqMLT,第四章 量纲分析与相似理论,A FT/L2 或 M/(L*T)C FT/L2 或 M/(L2T)B FT/L 或 M/(LT)D F/(TL2)或 M/(L
3、T),动力黏度系数的基本量纲表示为：(),第四章 量纲分析与相似理论,2.量纲一的量：,特点：（1）指数为零；（2）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；,第四章 量纲分析与相似理论,A.；B.；C.；D.；,问题：速度v,密度,压强p的无量纲集合是：,A.；B.；C.；D.。,问题：速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：,第四章 量纲分析与相似理论,三、物理方程的量纲齐次性原理,凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量纲必然相同。,量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。,工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。,满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。,如流
4、体静力学基本方程,用 除其余各项，可得无量纲方程,第四章 量纲分析与相似理论,量纲分析法,一、瑞利法,基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。,应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于5个,瑞利法的计算步骤：,1.确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDxUyza,例题,第四章 量纲分析与相似理论,例1 已知管流的特征流速Vc与流体的密度、动力粘度和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。,解,式中k为无量纲常数。,将各物理量的量纲,代入指数方程，则得相应的量纲方程,假定,第四章 量纲分析与相似理论,根据量纲齐次性原
5、理，有,解上述三元一次方程组得：,故得：,其中常数k需由实验确定。,瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3时较为方便。,第四章 量纲分析与相似理论,二、定理,基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关系，即,而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为（nm）个无量纲数的函数关系，即,第四章 量纲分析与相似理论,例2 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度v、流体的密度和动力粘度有关，试用定理量纲分析法建立FD的公式结构。,解,选基本物理量、v、d，根据定理，上式可变为,其中,假定,对1：,第四章 量纲分析与相似理论,代入，并就FD解出，可
6、得,解上述三元一次方程组得：,式中 为绕流阻力系数，由实验确定。,第四章 量纲分析与相似理论,定理的解题步骤：,（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式:,（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含 m个基本物理量作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，。,（3）确定数的个数N（）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量组成的表达式,第四章 量纲分析与相似理论,（4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各项的指数x，y，z，从而定出各无量纲参数。,（5）写出描述现象的关系
7、式,或先解一个参数，如：,第四章 量纲分析与相似理论,选择基本量时的注意原则：1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的。,第四章 量纲分析与相似理论,1、管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。,取v，D，为基本变量，则的个数
8、N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个，因hf和L量纲都是长度。1=x1Dy1z1=LT-1x1Ly1ML-3z1ML-1T-1 则L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1=0由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：2=x2Dy2z23=x3Dy3z3g可得：x2=0，y2=-1，z2=0 x3=-2，y3=1，z3=0写成数为：,第四章 量纲分析与相似理论,常用沿程损失公式形式为：,称沿程阻力系数，具体由实验决定。,第四章 量纲分析与相似理论,流体相似的基本概念,一、几何相似,原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。,长度比尺：,面积比尺：,体积比尺：
9、,第四章 量纲分析与相似理论,二、运动相似,原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例，方向相同。,流速比尺：,加速度比尺：,第四章 量纲分析与相似理论,三、动力相似,原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。,第四章 量纲分析与相似理论,说明：,几何相似是运动相似和动力相似的前提,动力相似是决定流动相似的主要因素,运动相似是几何相似和动力相似的表现,初始条件和边界条件的相似,初始条件：适用于非恒定流,边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。,第四章 量纲分析与相似理论,流动相似的基本准则,一、弗劳德准则重力相
10、似,要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要求有,流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这个物理方程即相似准则。,重力比尺：,式中：,第四章 量纲分析与相似理论,惯性力比尺：,故得弗劳德准则方程,即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳德数 必须相等。,第四章 量纲分析与相似理论,二、雷诺准则粘性力相似,要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则根据动力相似要求有,式中，粘性力比尺：,第四章 量纲分析与相似理论,故得雷诺准则方程,即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两者对应的雷诺数 必须相等。,雷诺数的物理意义表示：A.粘滞力与重力之比；B.
11、重力与惯性力之比；C.惯性力与粘滞力之比；D.压力与粘滞力之比。,第四章 量纲分析与相似理论,三、欧拉准则压力相似,要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据动力相似要求有,式中，压力比尺：,第四章 量纲分析与相似理论,故得欧拉准则方程,即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则要求两者对应的欧拉数 必须相等。,第四章 量纲分析与相似理论,相似原理的应用,一、模型律的选择,从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难以实现。,如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则 和雷诺准则，通常取，则有,即应按 选择流体运动粘度，一般难以实现。若取，即原、模型采用同一介质，则导致，失去了模型试验
12、的价值。,第四章 量纲分析与相似理论,实际应用时，通常只保证主要力相似。,一般情况下：,有压管流、潜体绕流选雷诺准则；,明渠流动、绕桥墩流动选弗劳得准则。,第四章 量纲分析与相似理论,问题：原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？,第四章 量纲分析与相似理论,二、模型设计,定长度比尺l，确定模型流动的几何边界；,选介质，一般采用同一介质，1,1；,选模型律。,第四章 量纲分析与相似理论,例3 已知溢流坝的过流量QP1000m3/s,若用长度比尺l60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm。,解,溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳得准则进行模型设计。,第四
13、章 量纲分析与相似理论,满足雷诺准则时，其流量比尺Q的表达式是：()A Q=Al B Q=l C Q=l D Q=AV,如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为 m/s。,凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。,第四章 量纲分析与相似理论,1.动力粘度的量纲是A、,B、,C、,D、,2.由功率P、流量,、密度,重力加速度,和作用水头,组成一个无量纲数是:,；,；,；,、,第四章 量纲分析与相似理论,3.流体运动粘度的量纲是,第四章 量纲分析与相似理论,4.将正确答案的序号（一个或几个）填入括号内单位长
14、电线杆受风吹的作用力F与风速v、电线杆直径D、空气的密度以及粘度有关，F可表示为,B、,D、,E、,A、,C、,第四章 量纲分析与相似理论,7.设模型比尺为1：100，符合重力相似准则，如果模型流量为1000m/s，则原型流量为_m/s.A、0.01；B、108；C、10；D、100008.设模型比尺为1：100，符合重力相似准则，如果模型流速6m/s，则原型流速_m/s.A、600；B、0.06；C、60；D、600000,第四章 量纲分析与相似理论,9.如模型比尺为1：20，考虑粘滞离占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中流速为_m/s。A、11.1；B
15、、1000；C、2.5；D、22310.对于两液流力学相似满足条件中，非恒定流比恒定流多一个条件是：A、几何相似；B、运动相似；C、动力相似；D、初始条件相似。,第四章 量纲分析与相似理论,管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。,第四章 量纲分析与相似理论,长度比L=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？,第四章 量纲分析与相似理论,有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10（原型中油的运动粘度p=0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？,
