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1、7.3 二维泊松方程的有限元法,以二维静电场泊松方程的求解为例。,目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。,场域离散二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。,单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。节点：网格的交点，待求变量的设置点。,该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质,三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1,u2,u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为,代入三个顶点的坐标和函数值，可以
2、解出a、b、c。得到,单元节点的编号按逆时针方向排列！,其中，,记住我们的任务寻找基函数,对比,可得,基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上，Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。,在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。,计算系数阵,这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为：,计算系数阵,以下把单元e的贡献记为,这样，就有,每个 或 的计算都在具体
3、的单元内单独考虑（称为单元分析）。,由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f(e)为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此,右端项元素：,上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵K(e)，然后合成整体系数阵K。单元系数阵K(e)定义为设 i,j,m 是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此 必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。,单元矩阵：,整体矩阵合成：,第一类边界条件（强加边界条件）,第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值。,要保持对称性；有更简便的做法,
