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1、第二章 基本定理,2.1 常微分方程的几何解释,2.2 解的存在唯一性定理,2.3 解的延展,2.4 奇解与包络,2.1 常微分方程的几何解释,2.1.1 线素场,一阶微分方程,右端函数,在区域,内有定义.以,为中,心,作一单位线段,使其斜率为,称为在点,的线素.,这样在区域G上确,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,定了一个线素场(又称方向场).,K为参数,例1 试讨论方程,所确定的线素场.,解 除Y 轴无定义外,方程在两个半平面上都确定了线素场.,易见在点,的线素与,过原点与该点的射线重合.,定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是:在L 上任一点,L 的切线方向与(2
2、.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.,证明 必要性,设L为(2.1)的积分曲线,其方程为,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有,定义的区间上有,上式左端为曲线L在点,的切线斜率.右端,恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率,素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相等.于是,在函数 有定义的区间上,恒有等式,的切线 与线素场在该,点线素重合.整个曲线L都是这样.,充分性 设方程为,上式左端为曲线L在点,的曲线L,在其上任,何一点,这个等式恰在此时好说明 为方程(2.1)的解,处,它的切线方向都与方程(2.1)的线,从而曲线运动L为方程的积
3、分曲线.,直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方向行进的曲线.,例2,例3,积分曲线,方向场,向量场的示意图,积分曲线,例7,它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场求出经过 的近似积分曲线.把,假设函数,2.1.2 欧拉折线-求过一点的近似积分曲线,在给定区域上连续且有界.于是,等分,其分点为:,先求出,用经过,斜率为,的直线段来近,似积分曲线,其方程为,求出直线上横坐标,就很接近积分曲线上的点,如果 h 很小,处的点的纵坐标,因,连续.于是由点,出发的斜率为,的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为,用经过,求出直线上横坐标,处的点的纵坐标,类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值,这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线.,这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.,2.1.3 初值问题解的存在性,佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的存在性.(在下一节讨论),需解决的问题,作 业,P77 1.(1)(2)3.,
