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1、Review,精度,准确度,精确度,衡量偶然误差大小的指标,衡量系统误差大小的指标,衡量偶然误差和系统误差联合影响的指标,方差&中误差平均误差或然误差极限误差相对误差,绝对误差,协方差传播律,Questions,所量测的非所关心的,在一个三角形中，观测了三内角、，其闭合差，求解各角的最或然值、？,解：,将闭合差平均分配得各角的最或然值、,各角的最或然值是三个角度观测值的函数,P点坐标,其中,若已知边长和角度的方差和协方差,如何计算待定点P坐标的方差和协方差,？,协方差传播律,Questions,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。,Q
2、uestions,内容安排,一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用,协方差传播律,Propagation of Covariance,协方差2.相关3.方差协方差阵,一、基本概念,对于变量X，Y，其协方差为：,1.协方差,X、Y间不相关、相互独立,X、Y间相关,2.相关,测量中观测值和观测误差均服从正态分布，故“不相关”与“独立”是等价的，,不相关观测值称为独立观测值，相关观测值称为不独立观测值。,各种控制网中观测值角度和变长是独立观测值，计算得到的各点的坐标是相关观测值。,2.相关,独立观测值,：测量中直接观测的高
3、差、距离、角度和方向等,不独立观测值（相关观测值）,：经过计算才得到的观测量,一个测站上的水平方向值是独立观测值，由方向值计算得到相邻角度是相关观测值；,假定有 个不同精度的相关观测值，数学期望和方差分别为 和，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:,3.方差协方差阵,对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差协方差阵表示为：,X的协方差阵,3.方差协方差阵,注意:矩阵中各元素的含义,X独立时,X独立同精度时,3.方差协方差阵,14,设有观测值向量 和，它们的数学期望分别为 和。令：；则 的方差阵为：,是X关于Y的互协方差阵,3.方差协方差阵,？,即与互为转置阵,当 和 的维数 时，互协
4、方差阵就是 关于 的协方差。,若，则称与 是相互独立的观测向量,3.方差协方差阵,内容安排,一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用,协方差传播律,Propagation of Covariance,设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即,现有的线性函数为：,二、观测值线性函数的方差,如何求Z的方差？,协方差传播律,则,对上式两边取数学期望：,Z的方差为,令：,二、观测值线性函数的方差,观测值线性函数的方差（纯量形式）,两两独立时，得,中误差传播律,结论:,协方差传播律,二、观测值线性函数的方差,？,则：,线性函
5、数的协方差传播律：,设有函数：,函数的协方差阵=函数的系数阵自变量的协方差阵系数阵的转置阵,二、观测值线性函数的方差,2023/9/9,21,结果表示:,例1：在1：500的图上，量得两点间距离 d=23.4mm,d的测量中误差为=0.2mm，求该两点实地距离 及中误差。,解：,二、观测值线性函数的方差,例题赏析,例2：设 为独立观测值 的函数,已知 的中误差 求函数的中误差,解：,是独立观测值，故根据下式进行求解：,注意：单位和“”,二、观测值线性函数的方差,中误差传播律,例3：如图所示，设在测站 上，已知（设无误差），而观测角 和 的中误差为，协方差，求角 的中误差,解：,令,别的方法？,
6、二、观测值线性函数的方差,内容安排,一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用,协方差传播律,Propagation of Covariance,设有观测值向量,三、多个观测值线性函数的协方差阵,令：,现求Z的协方差阵？,若有t个X的线性函数：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,函数：函数的协方差阵：,推导过程：,Z的协方差阵：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,协方差传播律,设另有的r个线性函数：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,三、多个观测值线性函数的协方差阵,推导过程：,？,协方差传播律,若有s个关于Y的线性函数
7、：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,三、多个观测值线性函数的协方差阵,推导过程：,？,协方差传播律,已知协方差阵的变量的函数。,技巧：,将要求协方差阵的量表示成,协方差传播律,协方差传播律,例1-5：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角，其中误差为试将三角形闭合差平均分配后的各角 的协方差阵。,分析：一、提取信息：,（1）”同精度独立观测“,观测值的协方差阵,（2）”闭合差平均分配“,闭合差,平差值,例题赏析,二、简化题目：,记,则,三、分析题意：,根据协方差传播律知：求 需知，由题意可得,例题赏析,若只计算 的中误差 和 关于 的协方差,？,例题赏析,Review,对称阵,对角阵,
8、独立观测值,与 独立,关键：,函数表达式的建立（最简）,Review,协方差传播律,中误差传播律,例1-6 设有函数：，已知 和 的协方差阵 分别为 和，关于 的互协方差阵为，求 的协方差阵 和 关于 及 的互协方差阵 及,解：,例题赏析,例1-7 设有函数：,的方差阵，的方差阵，关于 的互协方差阵为，其中 为常系数阵。且,求,1.计算,例题赏析,，（表示单位阵）,2.计算,3.计算,4.计算,例题赏析,5.计算,例题赏析,内容安排,一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用,协方差传播律,Propagation of
9、Covariance,设有观测值 的非线性函数,已知X的协方差阵，求Z的方差？,1单个非线性函数,四、非线性函数的协方差传播律,方法一：泰勒级数法,四、非线性函数的协方差传播律,方法二：全微分法,令,则,线性化,结论：求解非线性函数的方差，只需对求其全微分即可,四、非线性函数的协方差传播律,设有观测值 的多个非线性函数,2多个非线性函数,将函数求全微分得,四、非线性函数的协方差传播律,两组非线性函数时怎么做？,例1-8 量得某矩形的长和宽为 和，且，计算该矩形面积的方差。,解：,面积函数,线性化,协方差传播律,先取对数,再全微分,例题赏析,解析：,边长函数式,例题赏析,例1-9 设在三角形AB
10、C中，观测三内角，将闭合差平均分配后得到各角之值,求得协方差阵为已知边长，试求 的长度及其协方差阵。,函数线性化,先取自然对数,再取全微分,或为,矩阵形式,例题赏析,协方差传播律,角度由秒化为弧度,例题赏析,1.有些函数可以先取对数再全微分，则较为方便。,3.注意单位的统一：角度应化为弧度制,计算结果,启发：,2.偏导数 的数值是用X 近似值带入解算的,例题赏析,总 结,应用协方差传播律的具体步骤如下：,1.按要求写出函数式，如：,2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化,3.将微分关系写成矩阵形式：,4.应用协方差传播律求方差或协方差阵,内容安排,一、基本概念二、观测值线性函数的方差
11、三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用,协方差传播律,Propagation of Covariance,误差传播定律的应用Applications of Error Propagation Law,1.同精度独立观测值的算术平均值的精度 Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity2.水准测量的精度 Precision of Leveling3.三角高程测量的精度 Precision of Trigonometr
12、ical Leveling4.交会定点的精度 Precision of Intersection Point5.若干独立误差的联合影响 Joint Influence of Some Independent Errors,算数中数在测量中有着十分广泛的应用,1.同精度独立观测值的算术平均值精度Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity,水平角的观测结果怎么计算呢？,1.同精度独立观测值的算术平均值精度Standard Deviation of the A
13、rithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity,通常 n 1，可见算术中数的精度好于单个观测值的精度,一个量独立等精度的 n 个观测量：,1.同精度独立观测值的算术平均值精度Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity,n个同精度独立观测值的算术平均值的中误差等于各观测值中误差 除以,不能单纯靠增加观测次数提高算术中数的精度,如何提高算术中数的精度？,1.同精度独立观测值的
14、算术平均值精度Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity,例1,有一角度测4个测回，得中误差为,问再增加多少测回，其中误差为？,解：由,得：,即再增加5测回，得中误差为,1.同精度独立观测值的算术平均值精度Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity,解：,B 角最少要观测2个测回,误差传播定律的应用Applicat
15、ions of Error Propagation Law,1.同精度独立观测值的算术平均值的精度 Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity2.水准测量的精度 Precision of Leveling3.三角高程测量的精度 Precision of Trigonometrical Leveling4.交会定点的精度 Precision of Intersection Point5.若干独立误差的联合影响 Joint Influence of Some
16、 Independent Errors,2.水准测量的精度Precision of Leveling,水准测量方法是目前布设国家高程控制网的主要测量方法,2.水准测量的精度Precision of Leveling,测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比,K 称为单位距离高差的中误差或每公里高差中误差。,各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比,例2,在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？,解：,所以A、P间最多可设25站。,例题赏析,解：,所以该线路最长可达16千米。,例
17、4,若要在两已知高程点之间布设一条附合水准路线，如图所示，已知每千米观测中误差等于5.0mm，欲使平差后路线中点C点高程中误差不大于10mm，问该线路长度最多可达几千米？,例题赏析,误差传播定律的应用Applications of Error Propagation Law,1.同精度独立观测值的算术平均值的精度 Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity2.水准测量的精度 Precision of Leveling3.三角高程测量的精度 Precisi
18、on of Trigonometrical Leveling4.交会定点的精度 Precision of Intersection Point5.若干独立误差的联合影响 Joint Influence of Some Independent Errors,h（高差）,3.三角高程测量的精度Precision of Trigonometrical Leveling,S（水平距离）,a（标高）,i（仪器高）,三角高程测量是一种常用的高程测量方法,此时角度的中误差应该取什么单位？,3.三角高程测量的精度Precision of Trigonometrical Leveling,在传统的大地控制网中，
19、通常,边长比较长时,三角高程测量高差的中误差与三角点间的距离成正比,误差传播定律的应用Applications of Error Propagation Law,1.同精度独立观测值的算术平均值的精度 Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal precision measurement of a quantity2.水准测量的精度 Precision of Leveling3.三角高程测量的精度 Precision of Trigonometrical Leveling4.交会定点的精度 Precision of Inte
20、rsection Point5.若干独立误差的联合影响 Joint Influence of Some Independent Errors,如图表示用侧方交会法测定点P的位置。其中A、B为已知点，边长 和方位角 认为是没有误差的，设独立观测值为 和，他们中误差为，求解点P的方差和协方差？,解析：,函数表达式,4.交会定点的精度Precision of Intersection Point,对边长和方位角公式全微分,单位统一,矩阵形式,4.交会定点的精度Precision of Intersection Point,4.交会定点的精度Precision of Intersection Poin
21、t,所以 的协方阵为,对点坐标公式全微分,矩阵形式,4.交会定点的精度Precision of Intersection Point,P点坐标协方差阵为,点P点位方差,点P点位方差,横向误差,纵向误差,4.交会定点的精度Precision of Intersection Point,纵向误差由边长AP引起，横向误差由AP边的坐标方位角引起的,误差传播定律的应用Applications of Error Propagation Law,1.同精度独立观测值的算术平均值的精度 Standard Deviation of the Arithmetic Mean with the equal prec
22、ision measurement of a quantity2.水准测量的精度 Precision of Leveling3.三角高程测量的精度 Precision of Trigonometrical Leveling4.交会定点的精度 Precision of Intersection Point5.若干独立误差的联合影响 Joint Influence of Some Independent Errors,一个观测结果同时受到许多独立误差的影响，在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即,由于此处真误差是相互独立且随机的，则方差关系式为,观测结果=各独立误差所对应的方差之和,5.若干独立误差的联合影响Joint Influence of Some Independent Errors,误差传播定律的应用小结,一、同精度独立观测值算术中数的精度,二、水准测量高差的精度,三、三角高程测量高差的精度,能够熟练推导公式能够灵活运用公式,要求,四、交会定点的精度,五、若干独立误差的联合影响,
