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1、理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系的平衡 条件和平衡方程,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一、平面任意力系平衡的必要 和充分条件 二、关于平面任意力系的例题 三、平面任意力系平衡方程的 其他形式 四、平面平行力系,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 一、平面任意力系平衡 的必要和充分条件,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1平面任意力系的充分条件 现在讨论静力学中最重要的情形，即平 面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形（3-6）,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 显然，主矢等于零，表明作用于简化中 心
2、O 的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系 必为平衡力系。因此，式（3-6）为平面任意力系的充分 条件。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2平面任意力系平衡的必要条件 由上一节分析结果可见：若主矢和主矩 有一个不等于零，则力系应简化为合力或合 力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一 步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主 矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要条 件。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3平面任意力系平衡的必要和充分条件 于是，平面任意力系平衡的必要和充分
3、条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于 零。这些平衡条件可用解析式表示。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 将式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 结论:平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影 的代数和分别等于零，以及各力对于任意一 点的矩的代数和也等于零。式（3-7）称为平面任意力系的平衡方程（为便于书写，下标 i 可略去）。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 二、关于平面任意力系 的例题,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例3-2 起重机 P1
4、=10 kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为 P2=40 kN 的重物，如图 3-6 所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-6,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：（1）以起重机为研究对象 以起重机为研究对象，它所受的主动力 有P1和 P2。由于对称性，约束力和主动力都 位于同一平面内。止推轴承 A 处有两个约束 力FAx，FAy，轴承 B 处只有一个与转动轴垂 直的约束力FB，约束力方向如图 3-6 所示。,理论力学 3-2平面任意力
5、系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程 取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）求解方程 求解以上方程，得 FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例3-3 图3-7所示的水平梁 AB，A 端为固定铰 链支座，B 端为一滚动支座。梁的长为 4a，梁重 P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上 受均布载荷 q 作用，在梁的 BC 段上受力偶 作用，力偶矩 M=Pa。试求 A 和 B 处的支座约束力。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-7
6、,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：（1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有：均布载荷 q，重力 P 和矩为 M 的力偶。梁AB所受的约束力有：铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程 解上述方程，得,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例 3-4 自重为 P=100 kN 的 T 字型刚架 ABD，置于铅垂面内，载荷如图 3-8a 所示。其中
7、 M=20 kNm，F=400 kN，q=20 kN/m，l=1 m。试求固定端 A 的约束力。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 a,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：（1）取 T 字形钢架 ABD 为研究对象 钢架ABD上除主动力外，还受有固定端 A 处的约束力FAx，Fay 和约束力偶 MA。线性分布载荷可视为一组平行力系，将 其简化为一个集中力F1，其大小为,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 其作用线可利用合力矩定理确定：,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 式中，h 是点 A 到集中力 F1 的距离，由上
8、式求得 h=l，即集中力作用于三角形分 布载荷的几何中心。刚架受力图如图3-8b 所示。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）按图示坐标列平衡方程,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程 解方程，求得 负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解题技巧：（1）从上述例题可见，选取适当的坐标 轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的 未知数的数目。（2）在平面任意力系情形下，矩心应取 在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽
9、可能多的未知力相垂直。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 三、平面任意力系平衡 方程的其他形式,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 在例3-3中，若以方程 取 代方程 可以不解联立方程直接求 得 Fay 值。因此在计算某些问题时，采用力 矩方程往往比投影方程简便。下面介绍平面任意力系平衡方程的其他 两种形式。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1二矩式平衡方程（1）三个平衡方程中有两个力矩方程和一 个投影方程，即（3-8）,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 其中 x 轴不垂直于 A，B 两点的连线。（2）为什么上述形式的平衡方程也能
10、满足 力系平衡的必要和充分条件呢？a这是因为，如果力系对点 A 的主矩等 于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为 经过点 A 的一个力，或者平衡。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 b如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。c如果再加上，那么力系如 有合力，则此合力必与 x 轴垂直。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 式（3-8）的附加条件（x 轴不得垂直 于连线 AB）完全排除了力系简化为一个合
11、力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2三矩式平衡方程（1）同理，也可写出三个力矩式的平衡方 程，即，（3-9）其中 A，B，C 三点不得共线。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）为什么必须有“A，B，C 三点不得共线”这个附加 条件？同学们可自行证明。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3根据具体条件选择三组平衡方程（1）上述三组方程（3-7）、（3-8）、（3-9），究竟选用哪一组方程，须根据具体 条件确定。（2）对于受平面任意力系作用的单个刚 体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡 方程，求解三个未
12、知量。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）任何第四个方程只是前三个方程的线 性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 四、平面平行力系,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1平面平行力系是平面任意力系的一种特 殊情形。2如图3-10 所示，设物体受平面平行力系 F1，F2，Fn 的作用。如选取 x 轴与各力 垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在 x 轴上的投影恒等于零，即。,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-10,理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3平行力系的独立平衡方程的数目只有两 个，即（3-10）平面平行力系的平衡方程，也可用两个 力矩方程的形式，即（3-11）,四川理工学院机电工程系力学教研室,
