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1、1,2.5 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,1、用几何元素表示平面,2,3,2、平面的迹线表示法,4,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影特性,5,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,6,1）投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,7,铅垂面,投影特性：1、abc积聚为一条线 2、abc、abc为ABC的类似形 3、abc与OX
2、、OY的夹角反映、角的真实大小,8,正垂面,投影特性：1、abc 积聚为一条线 2、abc、abc ABC的类似形 3、abc与OX、OZ的夹角反映、角的真实大小,9,侧垂面,投影特性：1、abc积聚为一条线 2、abc、abc为 ABC的类似形 3、abc与OZ、OY的夹角反映、角的真实大小,10,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,11,2）投影面平行面,水平面,正平面,侧平面,12,水平面,投影特性：1、a
3、bc、abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 2、水平投影abc反映 ABC实形,13,正平面,投影特性：1、abc、abc 积聚为一条线，具有积聚性 2、正平面投影abc反映 ABC实形,14,投影特性：1、abc、abc 积聚为一条线，具有积聚性 2、侧平面投影abc 反映 ABC实形,侧平面,15,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,16,3）一般位置平面,17,一般位置平面,投影特性 1、abc、abc、abc 均为 ABC的类似形 2、不反映、的真实角度,18,平面上取任意直线
4、,三、平面上的直线和点,19,20,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,21,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,22,平面上取点,23,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,24,例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,25,k,
5、b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,26,3、平面上的投影面平行线,一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。,27,28,例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,29,例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。,30,2.6 圆的投影,圆的投影特性：,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投
6、影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,31,2.7直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,32,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,33,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,34,例题3 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,35,两平面平行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚
7、性的那组投影必相互平行。,36,例题1 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,37,例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,38,二、相交问题,直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,39,40,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平
8、投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,41,42,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,43,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方
9、向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,44,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,45,46,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面
10、投影有积聚性。ab与ef的交点m、b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,47,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,48,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题
11、思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,49,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,50,二、平面上的点与直线,三、平行问题,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,51,四、相交问题,
12、求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,52,特殊位置线面相交,特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。（l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。,53,直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。,54,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,55,一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,56,判断平面的可见性,
