平面问题中一点的应力状态.ppt

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1、,已知任一点P处坐标面上应力，求经过该点的任何斜面上的应力。,问题的提出：,25平面问题中一点的 应力状态,问题,空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即，可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。,求解：取出一个三角形微分体（包含 面，面，面），边长,问题,斜面应力表示：,平面问题中一点的应力状态,几何参数：,设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds。,斜面上应力分解为：,由Y=0得：,由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得,(1)求（,）,斜面应力,其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。,平面问题中一点的应力状态,P,斜

2、面上应力分解为：,已知P点应力xyxy可求出过P点任意斜面上的,正应力和剪应力（NN）利用（2-4）（2-5）,应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2）的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）,平面问题的应力边界条件,P,主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。,2(x+y)+(xy2xy)=0,注意:平面应力状态下,任一点一般都存在 两个主应力。二者方向互相垂直。1+2=x+y,任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。

3、最大剪应力所在平面与主平面相交45，其值为,主平面上剪应力等于零，但max 作用面上正应力一般不为零。而是：,将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设）,求最大，最小应力,最大，最小应力,说明：以上均应用弹力符号规定导出。,(d),最大、最小剪应力,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、min 的方向与1（2）成45。,小结：,（2-18）,平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、min 的方向与1（2）成45。,注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转

4、到x轴为正）,例：已知平面一点的应力状态为。求该点的主应力和主平面方向。,解：,平面问题的基本理论,试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的 数值都等于两个主应力的平均值。,例题,已知X=q，y=0，xy=-2q，求：1，2，1 1=2.562q 2=-1.562q tg1=-0.781 1=-37.99o=-37o59,问题：平面问题中，(a)已知一点的应力为，那么任一方向的正应力n为 n 为;（b）已知 那么,2-6 边界条件,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当

5、的边界条件下，上述8个方程可解。,位移边界条件 设在 部分边界上给定位移分量 和,则有,（在 上)。（a）,边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。,若为简单的固定边，则有,位移边界条件的说明：,（在 上）。（b）,它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。,它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。,通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,应力边界条件设在 上给定了面力分 量,（在A中）。（c）,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:,它是边界上微分体的静力平衡条件；,说明,应力边界条件的说明

6、：,式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；,它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；,所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）也必须满足。,式（d）中，按应力符号规定，按面力符号规定；,位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示，向的条件；,说明,若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为,当边界面为坐标面时，,坐标面,若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为,应力边界条件的两种表达式：,两种表达式,在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),

7、应力方向应同面 力方向(给定)。,在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f）；,在斜面上，在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。,例如：,两种表达式,例列出边界条件：,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y=0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x=l）：,(3),AC段（y=x tan）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,

8、解：,平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得,A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：,位移边界

9、条件,应力边界条件,图(b)：,位移边界条件,应力边界条件,部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；,混合边界条件,混合边界条件：,同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,例3列出 的边界条件：,弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。,圣维南原理及其应用,圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。,圣维南原

10、理,圣维南原理：,圣维南原理,1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；,圣维南原理的说明：,4.远处 指“近处”之外。,3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；,2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；,圣维南原理,圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。,圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,例1比较下列问题的应力解答：,b,举例：如何在局部边界上应用

11、圣维南原理 局部边界，小边界或次要边界。,举例：圣维南原理的应用,P,P,P,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/2,P/A,P/A,P,例2比较下列问题的应力解答：,推广,圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。,应用,圣维南原理在小边界上的应用：,精确的应力边界条件,如图，考虑 小边界，,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。,(a),在边界 上，,在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量=面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.,数值相等,方向一致.

12、,(b),圣维南原理的应用积分的应力边界条件,右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；,左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。,具体列出3个积分的条件：,即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。,式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。,讨论：,1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负 x 面，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右

13、端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。,精确的应力边界条件 积分的应力边界条件方程个数 2 3方程性质 函数方程（难满足）代数方程（易满足）精确性 精确 近似适用边界 大，小边界 小边界,比较：,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元

14、体的平衡求得，,例：试问图所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？,例题,试列出图(a)(b)的边界条件。,解:(a)对于图(a)的问题,在主要边界 y=h/2 应精确满足下列边界条件：,次要边界,(b)在主要边界 x=0,b,应精确满足下列边界条件:,在小边界 y=0,应用：,P,P,A,A截面应力边界条件：,近似满足,注意：静力等效,平面问题的基本理论,思考题,1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？2、试列出负 面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。,(1),对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。,(

15、2),有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题。,1.平面问题的基本方程及边界条件,平面问题,27按位移求解平面问题,平面应力问题,平面域A内的基本方程:平衡微分方程,（在A内）,几何方程,物理方程,（在A内）,（在A内）,应力边界条件 位移边界条件,（在 上）,（在 上）,S上边界条件:,8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。,按位

16、移求解（位移法）取，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含，的方程和边界条件，从而求出，；再求形变和应力。,2.解法消元法,解法,按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。,这是弹力问题的两种基本解法。,3.按位移求解,将其他未知函数用，表示：形变用，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用，表示:,取，为基本未知函数；,按位移求解,在A中导出求，的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，,上式是用，表示的平衡微分方程。,位移边界条件,（在 上）(d),（在 上）

17、(c),应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，,在S上的边界条件,按位移求解时，必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)，(d)。,归纳：,式(b)，(c)，(d)是求解，的条件;也是校核，是否正确的全部条件。,按位移求解（位移法）的优缺点：,求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。,适用性广可适用于任何边界条件。,例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。,(a)(b),解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,(a)(b),均属于位移边界条件，代入，,

18、得,得,解出,在 处，,代入，并求出形变和应力，,按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。,平面应变问题,对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将,在一般情况下,按位移求解平面问题,最后还须处理联立的两个二阶偏微分方程,而不能再简化为处理一个单独微分方程的问题(像按应力求解平面问题时那样)。这是按位移求解的缺点,也就是按位移求解并未能得出很多有用解答的原因。,但是,在原则上,按位移求解可以适用于任何平面问题不论体力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或混合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。此外,在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。,思考题试用位移法求解图(b)的位移和应力。,