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1、9.4 提高梁抗弯强度的途径,一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应力强度条件max=Mmax/Wz可以看出，梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。所以提高梁的弯曲强度主要从降低最大弯矩值和增大抗弯截面系数这两方面进行。,(1)合理布置梁的支座以简支梁受均布荷载作用为例(图9.21(a)，跨中最大弯矩Mmax=1/8ql2，若将两端的支座各向中间移动0.2l(图9.21(b)，最大弯矩将减小为Mmax=ql2/40，仅为前者的1/5。因而在同样荷载作用下，梁的截面可减小，这样就大大节省材料，并减轻自重。,9.4.1 降低最大弯矩值,图9.21,(2)
2、改善荷载的布置情况若结构上允许把集中荷载分散布置，可以降低梁的最大弯矩值。例如简支梁在跨中受一集中力P作用(图9.22(a)，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(图9.22(b)，最大弯矩将减小为Mmax=1/8Pl，仅为前者的1/2。又如将集中力P分散为均布荷载q=P/l(图9.22(c)，其最大弯矩减小为Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原来的1/2。,图9.22,(3)合理布置荷载作用位置将荷载布置在靠近支座处比布置在跨中时，最大弯矩值要小得多。例如承受集中力P作用的简支梁，荷载作用在梁中点时(图9.23(a)，最大弯矩Mmax=1/4Pl，若荷载靠近支座作用(图
3、9.23(b)，则最大弯矩Mmax=5/36Pl，减小近一半，且随着荷载离支座距离的缩小而继续减小。,图19.23,(4)适当增加梁的支座由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，增加支座可以减小梁的跨度，从而降低最大弯矩值。例如均布荷载作用的简支梁，在梁中间增加一个支座(图9.24)，则Mmax=1/32ql2，只是原梁的1/4。,图9.24,(1)选择抗弯截面系数Wz与截面面积A比值高的截面梁所能承受的弯矩与抗弯截面系数Wz成正比，Wz不仅与截面的尺寸有关，还与截面的形状有关。梁的横截面面积愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面应该是用最小的面积得到最大的抗弯截面系数。表9.1列出几种
4、常用截面形状Wz/A的比值。从表中可看出，圆形截面的比值最小，矩形截面次之，工字钢及槽钢较好。,9.4.2 选择合理的截面形状,表9.1 几种常用截面Wz/A的比值,(2)根据材料的特性选择截面由正应力强度条件lmax=Mmax/Wl=Mmax/Iy1lymax=Mmax/Wy=Mmax/I2y可知，当截面的最大拉应力与压应力同时达到其许用值时，材料才能得到充分利用，故同时满足以上两式的截面形状才是合理的。由以上两式取等号相比得l/y=y1/y2,对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，由于l=y，则要求y1=y2，应采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等截面。对于抗拉和抗压强度不相等的脆性
5、材料，由于ly，则要求y1y2，应采用不对称于中性轴的截面，如T形、槽形等截面。还应注意脆性材料的y往往比l大得多，因此受压边缘离中性轴的距离y2应较大。,等截面梁的截面尺寸是由最大弯矩Mmax确定的，其他截面由于弯矩小，最大应力都未达到许用应力值，材料未得到充分利用。为了充分发挥材料的潜力，在弯矩较大处采用较大截面，而在弯矩较小处采用较小截面。这种横截面沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若变截面梁各横截面上的最大正应力都恰好等于材料的许用应力，称为等强度梁。等强度梁的Wz(x)沿梁轴线变化的规律为Wz(x)=M(x)/,9.4.3 采用变截面梁,从强度观点看，等强度梁是最理想的，但因截面变化，这
6、种梁的施工较困难。因此在工程上常采用形状简单的变截面梁，来代替理论上的等强度梁。例如，在房屋建筑中的阳台及雨篷挑梁，如图9.25所示，梁的截面高度是变化的，自由端较小，固定端较大。,图9.25,9.5 梁的主应力,前面研究了梁在横截面上的应力分布规律及其计算，并建立了横截面正应力和剪应力的强度条件：max，max但实际上梁还可能沿斜截面发生破坏。例如图9.26所示的钢筋混凝土梁，在荷载作用下，除了在跨中产生竖向裂缝外，支座附近会发生斜向裂缝。这说明在梁的斜截面上也存在着导致破坏的应力。,图9.26,当研究梁内任意一点A斜截面上的应力时，围绕点A取出一个边长为dx的无限小的单元体abcd(图9.
7、27)。由于单元体的边长为无穷小，可以认为各平面上的应力是均匀分布的，且平行面上的应力是相同的。单元体两横截面ab、dc上的应力和分别为=M/Iy，=QSz/Izb单元体上、下面ad、bc上的应力可由剪应力互等定律得到(图9.27(b)。取任意斜截面ef，其外法线n与x轴的夹角为，规定由x轴转到外法线n为逆时针转向时，则为正。,9.5.1 梁内一点斜截面上的应力,图10.27,取ebf为研究对象(图9.27(d)。若ef面的面积为dA，则eb面和bf面的面积分别为dAcos和dAsin(图19.27(e)。取垂直和平行于斜截面的坐标轴n和。列平衡方程Fn=0dA+(dAcos)sin-(dAc
8、os)cos+(dAsin)cos=0即-cos2+2sincos=0,F=0dA-(dAcos)cos-(dAcos)sin+(dAsin)sin=0即-cossin-(cos2-sin2)=0将三角公式cos2=(1+cos2)/22sincos=sin2cos2-sin2=cos2,代入(a)、(b)两式，简化整理后得=/2+/2cos2-sin2=/2sin2+cos2运用式(10.13)和式(10.14)可求得梁内一点任意斜截面上的应力和。,对式(10.13)取导数并令d/d=0得/2sin2+cos2=0剪应力等于零的截面称为主平面，主平面上的应力称为主应力。主平面的位置可由上式确
9、定，即tan20=-2/求得最大主应力1和最小主应力3：,9.5.2 梁的主应力及最大剪应力,表明最大剪应力等于最大主应力与最小主应力之差的一半。比较式(10.15)和式(10.17)可以看出tan21=-cot20=tan(20+90)可见剪应力极值所在的平面与主平面的夹角为45。,【例 10.10】求图9.28(a)所示梁内某点单元体的主应力值及其所在的位置。【解】(1)计算主应力值根据公式(10.16)，可得1=(-20+202)MPa=8.28MPa3=(-20-202)MPa=-48.28MPa(2)计算主平面的位置根据公式(10.15)，可得tan20=-2/=-210/-20=1
10、由三角函数知20=45，0=22.5则0=0+90=22.5+90=112.5主应力及其所在位置如图9.28(b)所示。,图9.28,由于应力组合有各种可能，要采用试验的方法建立强度条件是难以达到的。因此，这类问题应根据材料在各种情况下的破坏现象，运用判断、推理的方法，提出一些假说，说明材料的破坏无论是单向应力状态还是复杂应力状态，都是由同一个因素所引起。于是，可以利用单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。这种假说称为强度理论。,9.5.3 主应力强度条件,最大剪应力理论(第三强度理论)这一理论认为：材料塑性破坏的主要因素是最大剪应力。也就是说，无论是在复杂应力状态还是在单向应
11、力状态下，只要材料危险点处的最大剪应力达到轴向拉伸破坏时的最大剪应力值，材料就发生塑性破坏。第三强度理论的强度条件为,形状改变比能理论(第四强度理论)这一理论认为：形状改变比能是引起材料塑性破坏的主要因素。经过推演后，可得到第四强度理论的强度条件为,【例 9.10】用20a号工字钢制成的简支梁如图9.29(a)所示。已知材料的许用应力=150MPa，=95MPa。试对此梁进行全面的强度校核。【解】(1)画剪力图和弯矩图，确定危险截面画出梁的剪力图和弯矩图，如图10.29(b)、(c)所示。在截面C和D上不但弯矩最大，而且剪力也是最大，所以它们是危险截面。任选其中一个截面，例如截面C进行强度校核
12、。在截面C上的内力为Mmax=32kNmQmax=100kN,图9.29,由型钢表查得20a号工字钢：Iz=2370cm4，Wz=237cm3,Iz/Szmax=17.2cm，其截面尺寸如图9.29(d)所示。(2)正应力强度校核(K1点)max=Mmax/Wz=32106/237103MPa=135MPa(3)剪应力强度校核(K3点)max=Qmax/(Iz/Szmaxd)100103/(17.2107)MPa=83.1MPa,(4)主应力强度校核(K2点)在危险截面上，腹板与翼缘交界处的正应力和剪应力都比较大(图9.29(e)、(f)，因此有可能在此出现较大的主应力，故有必要对该处的K2点进行主应力强度校核。先计算K2点单元体上的应力=Mmax/Izy=119.5MPa=QmaxSz/Izd=64.8MPa作出K2点单元体的受力情况如图9.29(g)所示。选用第四强度理论进行强度校核xd4=2+32=163.8MPa,由于（xd4-）/100%=（163.8-150）/150100%=9.2%5%所以原有截面不满足强度要求，需要改选较大的工字钢。,习题课2节,
