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1、,秦 佑 国 燕翔 清华大学建筑学院,随机变量与概率,建筑数学第十一讲,下表是掷骰子获得 6 点的试验记录，共掷了3000次。随着掷的次数的增加，得到6点的“频率”在震荡中趋近于“概率”（理论分析）值1/6=0.16666,（伯努利）大数定律 当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率。即频率的稳定性。设 是 n 次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为 p，则对任意正数，有公式：,在抽样调查中，当样本数量足够多时，可用样本值去估计总体值，其理论依据就在于此。,概率论只不过是把常识用数学公式表达了出来。拉普拉斯,概率公理 如果一个函数P AP(A)给一个
2、事件空间S中的事件A，指定一个实数P(A)，并且其满足下面的 3 个公理，那么函数P叫做概率函数，相应的P(A)叫做事件 A 的概率。公理 1：事件P(A)的概率 是一个0与1之间（包含0与1）的非负实数。公理 2：完全事件的概率值为 1。公理 3：如果A、B是互斥事件 互斥事件的加法法则。公理3可以推广到可数个互斥事件的并。,概率计算的定理定理 1(互补法则)：与A互补事件的概率是定理 2 不可能事件的概率为零：定理 3（公理3的推广）如果若干事件 每两两之间是空集关系（两两互斥），那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和。定理 4(任意事件加法法则)：对于事件空间S中的任意两个事件
3、A 和B，有如下定理：举例，在 52 张扑克牌中随机抽出一张，其或者是“黑桃”或者是“K”的概率是多少？事件 A（抽到黑桃）的概率P(A)=13/52=1/4，事件 B（抽到K）的概率P(B)=4/52=1/13，两者是或的关系；但可同时发生（黑桃 K），其概率是 P（A B）=1/52，因此答案是：1/41/131/52=16/52,定理 5(乘法法则)事件A、B，同时发生的概率是：公式中的 是指在B 条件下 A 发生的概率，称作条件概率。在 52 张牌中随机连续抽出2张(第一次抽出的牌不放回去)，都是K的概率是多少呢？第一次抽到K的概率是P(A)=4/52，第二次抽到K的概率是P(B/A)
4、=3/51，则有：4/523/51=12/2652 定理 6(无关事件乘法法则)，两个不相关联的事件，同时发生的概率是：轮盘赌是把一个圆盘等分成37个扇形，其中18个是红色，18个是黑色，1个是绿色。旋转圆盘，赌它停下后指针指的扇形的颜色。游戏中两次连续的旋转过程，P(A)代表第一次出现红色的概率，P(B)代表第二次出现红色的概率，两者没有关联，利用上面提到的公式，连续两次出现红色的概率为：造成许多玩家失败的原因是因为，大家普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系。连续 10 次出现红色的
5、概率为 P=(18/37)10=0.0007,通常人们看这张图片会认为有 6 栋建筑。不会想到树干挡住的可能是 2 栋房子而不是 1 栋。因为是 2 栋房子的可能性很小小概率事件。首先，图片中没有遮挡的房子都高低和颜色不同，人们自然“顺势”推想，树干挡住的房子，一样的高度一样的颜色，应是一栋房子，两栋房子的可能性小（小概率）；再说树干怎么就正好挡住房子空挡呢？太巧合了！（小概率）这个问题是计算机图像自动识别的书中提出的案例。,另一个案例是计算机自动翻译问题：“The girl saw the boy with a telescope.”这句英语如何翻（如何理解其含义）？一种理解是：女孩用望远镜
6、看到了男孩。另一种是：女孩看到了拿着望远镜的男孩。正如 The girl saw the boy with a book.翻译成：女孩看到了拿着一本书的男孩。也可以 with a basketball 等等。机器翻译，按一般规则，可能翻成：女孩看到了拿着望远镜的男孩。但人们更可能理解为：女孩用望远镜看到了男孩。因为人可能“逆向”思考，男孩带着望远镜是“小概率事件”，而“女孩用望远镜看到了男孩”，“望远镜”和“看”关联性大。计算机是从“句型”出现的概率来判别的，而人是从“词语”含义搭配的概率来决定的。,建筑防灾小概率事件的对策 灾害是“小概率事件”，房子着火不知在何处何时会发生，但一旦发生火灾，
7、生命财产损失可能很大，所以建筑消防设计是建筑师十分重要的工作。设计要通过消防部门的审查。发生火灾，造成人员伤亡和财产损失，如果是因为设计问题，建筑师要负法律责任。但普遍的问题是，在建筑使用过程中，疏于管理，尤其是堵塞消防通道和封闭消防出口，造成火灾时，人员不能及时疏散，许多人被烧死在上锁的门前。对易燃物和火源管理不善，尤其是乱拉电线，电线和电器设备陈旧老化。还有消防设施老旧损坏，紧急时无法使用等。近年来建筑施工发生的重大火灾较多。中国建筑防火规范最严。发生重大火灾后，更是从“政治影响”出发，“严加防范”。火灾是小概率事件，造成火灾的因素很多。需要理性地分析和采取对策。个体严格的全面防护，全社会
8、成本很高。适当地放宽消防设计标准，并不一定提高火灾发生的概率，配合社会化的保险制度，全社会成本就会降低，而受灾人可以得到补偿。当然加强日常管理是必要的。个体全面防护的投入是一种消耗，变成为“死”资金，随时间折旧而贬值，投入保险的资金是“活”资金，可以作为资本运作而增值，增加社会财富。汽车发生交通事故的概率比建筑火灾要高，但并不是要求所有的轿车都象奔驰那样牢靠，低档车的安全性只要满足基本要求就可以上路，而买“车险”在我国已经十分普遍了。,美国加拿大大都数住宅都是木结构，都要投火灾保险。,龙卷风是一种灾害性天气现象，破坏力极强。美国是龙卷风多发的国家。1974年4月3日，有48个龙卷风席卷美国11
9、个州，造成300多人死亡，数百人受伤，经济损失315亿美元。设计建造住房能抵抗龙卷风几乎是不可能的，如想做到，经济代价极高。尽管美国龙卷风每年都有，但某一家住房遭遇到龙卷风仍然是小概率事件。对待龙卷风灾害，首先是气象部门的发现、跟踪和发布预警；再有，保证人生安全是第一位的，龙卷风到来时人员能躲避逃生；房子一定要投保险的，一旦受灾，损失有保险公司赔付。,概率分布 如果一个随机现象包含若干个（或无限个）可能的事件，这些事件发生的概率构成该随机现象的概率分布。例如，抛掷硬币有 2 个可能，正面（钱数）朝上，反面（国徽）朝上，各自的概率是0.5，可以列表表示：,画成概率分布图,掷骰子有 6 个可能，朝
10、上的一面可能是1、2、3、4、5、6点，各自的概率是1/6。可以看到两个特征：事件（取值）是离散的；各事件概率相等，是均匀的。如果一个随机现象包含 n 个（有限个）可能的事件，且每个事件的概率是 P(Aj)=1/n（j=1，2，3，4，n）则称为离散概率，均匀分布。抛掷一个硬币就是“离散概率均匀分布”，n=2。,正面朝上 反面朝上,二项分布,一个试验只包含2个可能的结果，但两者发生的概率可能不同。若出现其中一个结果的概率为 p，则出现另一个结果（或不发生这个结果）的概率为1 p。例如，产品检验，抽到的样品可能是正品，也可能是次品，正品率 p=99%，次品是 1%;一个城市平均10年发一次洪水，
11、“十年一遇”，发洪水概率是 p=0.9，不发洪水的概率是1 p=0.1。称为二项分布。二项分布是最重要的离散概率分布之一，由瑞士数学家雅各布伯努利（Jakob Bernoulli）所发展，二项分布指出：,一条河流历史统计每10年会发一次洪水（10年一遇），讨论：今后10年发生洪水的概率是 1（必定发生洪水）吗？今后10年不发生洪水的概率呢？3年内可能发生洪水吗？这个问题是伯努利二项分布问题，发生洪水的概率 p=0.1，不发生洪水的概率 q=0.9。在 n 年内发生 k 次洪水的概率可按伯努利概率公式计算：,“今后10年发生洪水的概率是 1 吗？”，不是，尽管发生洪水的可能性很大，但不能确定一定
12、发生，可能不发生。“今后10年不发生洪水的概率呢？”，第1年不发生洪水的概率q=0.9=(0.91)，第2年也不发生洪水的概率：0.90.9=0.92=0.81，第3年还不发生洪水的概率：0.90.90.9=0.93=0.729，直到第10年还不发生洪水的概率是：0.910=0.3487。用二项概率公式计算，n=10,k=0（1次也没有发生），p=0.1，带入公式，C010=1,0.10=1,(10.1)100=0.910=0.3487，结果相同。“3年内可能发生洪水吗？”n=3,k=0，p=0.1，带入公式，用公式算出3年内不发生洪水的概率是0.93=0.729，于是可得，3年内发生洪水的概
13、率是10.729=0.271。同样10年内发生洪水的概率10.3487=0.6513。,再来做抛掷硬币的试验，不是一次抛 1枚，而是抛很多枚。一次抛100枚（n=100）硬币，把正面朝上的个数K与总数n=100的比值，记录下来，有可能是42个正面，比例是42/100，可能是62个正面，比例是62/100。可以猜测（理性分析）：得到一半正面向上，即比例是50/100的次数可能性要大（概率大），而100枚中没有一个正面的（比例是0/100），或全部是正面的比例是（100/100），出现的可能性微乎其微（概率很小），1/100与99/100，2/100与98/100，概率也很小；而49/100与51
14、/100，概率会大。一共有101个结果，概率总和是1。但这101个结果的概率分布是怎样的呢？首先应该是对称的，即1/100与99/100概率相同，49/100与51/100概率相同，K/100与（100K）/100概率相同；第二是“两头小中间大”，K50，K越大，概率越小，K越接近50，概率越大。如果做试验，一次一次地抛，抛的次数很多，例如1000次，2000次，试验得到的“频率”会无限接近“概率”，从而得到我们想要的概率分布。如果可以理论分析求算出概率分布，试验就可用来验证计算结果。,左上图是抛掷4枚、16枚、64枚硬币，正面朝上的数目K的概率分布。右上图是n=5、20、50的概率分布。左下
15、图是有人做的很多次抛掷许多枚硬币的试验结果。,这是通常所说的“两头小中间大”的分布形态。随机变量的样本值，多数集中分布在某个区段，小于和大于这个区段，样本数逐渐减少，其分布呈钟形或山峰形。,泊松分布泊松近似是二项分布的一种极限形式。其强调如下的试验前提：一次抽样的概率值 p 相对很小，而抽取次数值 n 又相对很大。因此泊松分布又被称之为罕有事件分布。泊松分布指出，如果随机一次试验出现的概率为 p，那么在n次试验中出现k次的概率是：其中 e=2.71828，数学常数(自然对数的底数),例如，某工厂生产零件，次品率 P=0.01。随机抽取100个零件，出现0个、1个、2个、3个、99、100次品的
16、概率各是多少？可以推测，抽出1个次品的概率最高（p=0.01,就意味着100个零件中有1个次品），抽出0个（没有抽到）次品的概率会略小一些，抽出2个、3个次品还有可能，但出现99、100个次品几乎不可能，概率接近于零，也就是说，当K1 时，抽出的次品数K越大，概率就越小。,如果，次品（或换一种说法是“特殊”品）率 p=0.1。随机抽取100个零件，可以推测，抽出k=10个次品的概率最高（p=0.1,就意味着100个零件中有10个次品），k0），k越小，概率越小；k10（但100），k越大，概率就越小。依然是“两头小中间大”，但不对称，最高点在10，此时 k/n=10/100=p。如果 p=0.
17、5，就是抛硬币了，分布就对称了。,泊松分布,n=9，p=1/3 的二项分布,泊松分布：两头小中间大，不对称,泊松分布是二项分布的近似,在实际事例中，当一个随机事件，以一定的平均速率(或称密度)随机且独立地出现时，例如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌数，等等。那么这个事件在单位时间内（或面积、体积上）出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。在离散事件泊松公式中，以=np 代入，就得到泊松公式的另一种表达：,而二项分布概率公式，在 n 时的极限就是上面的公式。,在临床试
18、验中，观察服用新药的病人，发生某种副作用的病人可能相当少；若观察到有此种副作用的病人比例为0.001。现对1000位病人使用新药治疗，问没有人发生该副作用反映的概率？解：设随机变量 X为有副作用反映的人数，这是一个n=1000，n很大，p=0.001，p很小的二项分布问题（伯努利试验），可以用泊松公式来近似：=np=0.0011000=1，没有人发生副作用反映，k=0,所以对1000个病人进行新药试验时，无人有副作用的概率为0.368。如果对2000个病人进行新药试验时，=np=2，但总是 k=0，k!=1,k=1结果没有人发生副作用反映的概率就是 e-=0.1353。3000人试验，结果是
19、0.0498。,为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01；一台设备的故障可由一人来修理。至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？,解：设需配备N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，n=300,p=0.01，=np=3，需要确定最小的N的取值，使得：查Poisson分布表可知，满足上式的最小的 N 是 8,因此至少需配备 8 个维修工人。,一条单向车行道上，1小时平均车流量是300辆，平均时距是3600/300=12秒，实际来车是随机的，前后两车的时距可能长，可能短，但不能短于两车
20、安全时距t0：（两车安全距离+车身长度）/车速。则时距 t（t0 t）就服从泊松分布。注意：t 的取值理论上是连续的，但也可以以秒（或0.1秒）为单位化成离散的取值。,一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的。一学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次伯努利试验，,P至少能答对4道题=P X 4=P X=4+P X=5,由二项公式：,设：随机数X 为学生靠猜测的答对题数，则X B（5,1/4),求得,前面讨论的是离散概率分布，即随机事件是离散的，事件取值是一个一个可列举的离散的数值。如有n个结果（事件），各自的概率P（Aj）（j=1，2
21、，3，n）已知，则有 P（Aj）=1（离散值相加求和）。但还有一些随机现象是连续的，例如在一条线或一个面上随机确定一个点，其位置就是连续的。人的身高，在样本量极大时，只要测量工具的“精度”足够，也可以看做是连续的。即是一个连续的随机变量。连续随机变量不能象离散随机变量那样一一列举各个取值的概率而直接给出概率分布，而是给出一个连续的“概率密度函数”f(x)，在随机变量可能的取值范围内（a，b），有：b a f(x)dx=1 而x取值在x1和x2之间的概率 p（x1 x x2）是：x2 x1 f(x)dx,均匀分布 均匀分布离散随机变量的概率分布上面已有讨论。为对比起见，列出抛骰子的例子，共有6个
22、结果（取值1,2,3,4,5,6），概率都相等，为1/6。,连续随机变量 x 的密度函数 P（x）为：,用计算机产生的（0,1）区间上均匀分布的随机数，是计算机随机模拟的基础。,平均分布,指数分布,如果随机变量 X 的密度函数为：,实际中，元器件的使用寿命、生物寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等均可近似地认为服从指数分布-寿命分布。,泊松分布泊松分布（Poisson distribution），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布。泊松分布是以1819 世纪的法国数学家西莫恩德尼泊松（Simon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。,正态分布正态分布XN
23、（，）的密度函数：,正态分布是最常见最重要的分布，它在理论与实际中占有特别重要的地位。现实世界中，大量的随机变量都服从或近似地服从正态分布。如：在生产条件不变的情况下，产品的尺寸、强度等性能指标；同一种生物体的身长、体重等指标，如人的身高；某个地区的年降水量，等等。,从图中可以看到：图形是“两头小中间大”，以 x=对称，小图形尖耸，大图形平缓。正态分布的数学期望（平均数）是位置参数，决定了分布的位置；标准差 是尺度参数，决定了分布的幅度。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。=0，=1 的正态分布N（0，1）称为标准正态分布。,p(x),正态分布XN（，）,函数曲线下
24、68.29%的面积在平均数左右的一个标准差范围内（，）。95.45%的面积在平均数左右两个标准差的范围内（2，2）。99.73%的面积在平均数左右三个标准差的范围内（3，3）。,前面讲到的二项分布，如果 p=0.5，可以得到“两头小中间大”的对称的概率分布，尽管是离散分布，但形状和正态分布相似。对称轴处k的取值np相当于正态分布的数学期望。所以，正态分布可以看作是其极限。,课堂实验：1）自测心率2）目测线长思考题：某个城市急救站，平均一小时会接到3个呼救电话，一次救护行动平均需要45分钟（救护车开出到送完病人回来，取决于服务范围），急救站要配备多少辆救护车，才能保证有人呼救时，有90%的概率，站上有车可出？这里有两个泊松分布：一是呼救电话的次数（或时距），一是救护车一次救护行动的时间。（这里只是提出问题，不求解。留待随机模拟来解决。）,
