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1、第五章：离散时间信号与系统的时域分析,Chapter7,Discrete systems,本章要点,离散时间系统的描述和模拟,离散时间系统的单位样值响应,F,F,F,F,F,抽样信号与抽样定理,常用典型序列及基本运算,离散时间系统的响应,卷积和,F,引言,连续信号的数字化,5.1 抽样信号与抽样定理,问题：1 是否保留了原信号 的全部信息？2 在什么条件下，可以从 中无失真地恢复出原连续信号？,当 时,1,由频域卷积定理,时域抽样定理：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据 的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于 或者说，最低抽样频率为。最低抽样频率 称为“奈奎斯特频
2、率”。,（其中),F,5.2 常用典型序列及基本运算,N为正整数,K为任意整数,(5)复指数序列,同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则,应为整数或有理数，否则不是周期序列。,2.序列的基本运算与波形变换,(1)序列的相加,（a）,（b）,（c）,序列的相加,(2)序列的相乘,（a）,（b）,（c）,(3)信号的差分,对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为,前向差分：,后向差分：,(4)序列的累加,对离散时间信号而言，信号的累加定义为,即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。,(7).序列的尺度变换,序列的尺度变换与连
3、续时间信号的尺度变换不同。,（,），是,序列每隔,点取一点形成的，即时间轴,压缩了,倍。,（,），是,序列每两相邻序列值之间加,个零值点形成的，即时间轴,扩展了,倍。,(8)信号的分解,比较,(9)序列的能量,主要讨论线性非移变系统。线性系统：if,then,二 离散时间系统,非移变系统,Ifthen,5.3 离散时间系统的描述和模拟,最常用的是“线性、时不变系统”,LTI,LTI,LTI,一 线性时不变系统的特性,二.离散时间系统的数学描述差分方程,例1：求图示RC低通网络的响应 y(n)所满足的差分 方程,当T足够小时，,利用计算机来求解微分方程就是根据这一原理来实现的,这一递归关系式称为
4、常系数差分方程，因y(n)自n以递增方式给出，称为前向形式的差分方程，否则为后向形式的差分方程。,D,（a）单位延时器,（b）加法器,（c）标量乘法器,二 离散时间系统的模拟,1.基本模拟元件,2一阶系统的描述与模拟,描述一阶系统的后向差分方程为,描述一阶系统的前向差分方程为,3N 阶系统后向差分方程的描述与模拟,对于描述一个n阶系统的后向差分方程,可改写为,可得其模拟框图，如下图所示。,4N 阶系统前向差分方程的描述与模拟,对于描述一个n阶系统的前向差分方程,可改写为,可得其模拟框图，如下图所示。,若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如,且m,n 时，需引入一个辅助函数,，使其满足,
5、就有,于是，其模拟图如下图所示。,一般n阶系统的模拟图,一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分方程。,一.常系数线性差分方程的求解 一般形式,简写成,其中,5.4 离散时间系统的响应,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要,求解过程比较麻烦，不宜采用。,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种,全响应齐次通解 特解,自由响应 强迫
6、响应,二、齐次通解,例1：一阶齐次方程的解,由原方程得：,解：方法一（迭代法）,的几何级数,方法二：,故,c是待定常数，有边界条件决定,是个公比为,方法三：,对应特征方程为,特征根,已知,则,特征根,单实根,重实根,齐次解,不同特征根所对应的齐次解,例：求下列差分方程的完全解,其中激励函数，且已知,解：特征方程：,齐次通解：,将 代入方程右端，得,三、特解,设特解为 形式，代入方程得,比较两边系数得,解得,完全解为,代入边界条件，求,得,一般情况不同激励所对应的特解,特征根,重等于 的特征根,特征根,特征单根,重特征根,例5.2 描述一个线性时不变离散时间系统的差分方程为,且初始状态,，求系统
7、的响应。,解：特征方程,特征根为,由此可得出齐次解的形式为,根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。,当激励,时，,特解为,将特解代入原差分方程，得,通过平衡方程两边系数，求出特解的系数,，得出特解,从而系统的全解,将系统的初始状态代入方程的全解，即,从而求出齐次解的系数为,则系统的响应就是方程的全解，即,与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分析中齐次解常称为系统的自由响应或固有响应。但应注意齐次解的系数是与激励有关的。特解的形式取决于激励信号，常称为强迫响应。,四零输入响应和零状态响应(自学）,零
8、输入响应,零状态响应,（二）离散时间系统的单位函数响应 例1：系统的差分方程式为 求系统的单位样值响应 解：,5.5 离散时间系统的单位样值响应,求齐次解 特征方程 三重根,齐次解,（2）由初始条件，求,由零状态,激励作用化为一个起始条件,（3）,例2：已知系统的差分方程模型,求系统的单位样值响应。,解：（1）求齐次解,齐次解为,（2）假设只有x(k)作用，求对应响应,（3）只考虑 项的作用，求 由线性时不变性,（4）,讨论：1.离散LTI系统作为因果系统的充要条件是（当k0时）2.稳定系统的充要条件是h(k)绝对可和，即,称为卷积和,2、由线性时不变性，得,5.6 卷积和,1、任意激励信号
9、可以表示为单位样值加权取和的形式,设,一、卷积和的定义,简记为,卷积和运算满足交换律，分配律，结合律,用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和,二、卷积和的计算方法,1图解法,反褶,解：,平移,平移,相乘，取和,例1：已知某离散系统的单位序列响应试求当激励 时,系统的零状态响应,解：由于 时，故 和 均称为因果序列。由卷积和公式得,2解析法,图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是利用数列求和公式，求得序列的卷积和。表5.2中列出了几种常用序列的卷积和。,解：由于 时，故 和 均称为因果序列。由卷积和公式得,数列求和,离散时间系统与连续时域分析法的比较,1、数学模型 微分方程 差分方程,2、分析线性时不变系统的基础 叠加性和齐次性，时不变性 全响应零输入零状态 齐次通解特解,3、两种系统的特征根的意义不尽相同。对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的系统特征根是位于s平面的左半平内，对于离散系统，特征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于z平面中的系统圆内。,4、零状态响应,连续系统,离散系统,科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉。-华罗庚（中国）,
