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1、菱形的性质及判定【知识梳理】1 .菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且.里边相等.角的性质：邻角互补，对角相等.对角线性质：对角线互相金宣不分且每条对角线平分一组对角.对称性：菱形是中心对称亩就也是篇益森由M菱形的面积等于底乘以高，等于对角履家寂盆一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.3 .菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定：四边相等的四边形是菱形.【例题精讲】板块一、菱形的性质【
2、例1】菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图所示，在菱形ABCD中，NABC=60。，DEAe交BC的延长线于点E.求证：de=1be.2【例3】如图，在菱形ABCD中，ZA=60o,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE_LAB,垂足为E.(1)求NABD的度数；(2)求线段BE的长.【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BEj_AD、BFCD,垂足分别为E、F.(1)求证：BE=BF;(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.B【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一
3、个动点(不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE.(1)证明：ZAPD=ZCBE;(2)若NDAB=60。，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的2,为什么？4【例5】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是ICms.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积.【例6】如图，菱形花坛MCD的周长为20m，乙I8C-60，沿着菱形的对角线修建了两条小路/C和8D，求两条小路的长和花坛
4、的面积.EBi【例7】已知，菱形AeC。中，、尸分别是8C、CD上的点，若4=/二尸=”，求/C的度数.【作业】L在菱形ABCD中，AB=5cm,则此菱形的周长为（A. 5cmB. 15cmC. 20cmAD. 25cm2 .如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60o , BD=4,则菱形ABCD的周长是3 .已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8,则这个菱形的周长是（A、20B、14C、 28 D、 244 .如图，菱形ABCD的周长是16,ZA=60o,则对角线BD的长度为（）A.2B.2VJC.4D.4735 .已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,NBAD=I20,A,
5、/菰积是（）、C、M (5, 0) , N (7, 4)i点 M、ND、M (4, 0) , N (7, 4)二、填空题7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DEJLAB,则菱形ABCD的面积为一2cm第7题第8题第9题8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,过点。作OH_LAB,垂足为H,则点。到边AB的距离9 .如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,NABC=60。，则四边形ABCD的面积等于cm2.10 .(2011河北，14,3分)如图，已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分
6、别为-4和1,则BC=.DCOB第10第1111 .如图，在菱形ABCD中，NBAD=60,BD=4,则菱形ABCD的周长是三、解答题12 .如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边川求证：zACEgZACF013.如图，(1)(2)四边形ABCD为菱形，己知A(0,4),B(-3,求点D的坐标;求经过点C的反比例函数解析式.14.如图所示，在菱形ABCD中,求证：DE15.(2011湘西州)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于0,NACB=30。，AB=2.(1)求AC的长.(2)求NAoB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEa求菱形OBEC的面积.板块二、菱形的判定【
7、例1】如图，如果要使平行四边形A5CD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.【例2】如图，在中，8。平分Z/I8C，的中垂线交46于点E,交BC于点产，求证：四边形8。尸是菱形【例3】已知：如图，平行四边形ABa)的对角线AC的垂直平分线与边力0、AC分别相交于E、A求证：四边形/RE是菱形.【例4】如图，在梯形纸片ABC。中，08C,dOC0,将纸片沿过点。的直线折叠,使点C落在Ao上的点C处，折痕交比于点E,连结CE.求证：四边形CDCE是菱形.【例5】如图，在ABC中，/8-/C，“是BC的中点.分别作IfDJ./6于。，MTLdC于E,OFINC于尸，EGLzfS于GOF
8、、EG相交于点夕.求证：四边形OMEP是菱形.【作业】1 .有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。2 .菱形的面积为24Cm,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线长为cm,边长为cm,高为cmo3 .菱形周长为20,相邻两角的比为1:2,则菱形的两对角线的长为o4 .如图1所示，菱形ABCD中，AEBC,BE=EC,AE=2,BD=。5 .如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA,ZC=。-7C6 .菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A.2倍B.3倍C.4倍D.8倍A.对角线互相平分B.邻角互补对角相等D.每条对角7 .菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（线平分一组对
9、角8 .如图3所示，菱形ABCD中，DEAB,DFBC,E、F为垂足，AE=EB,则NEDF等于（）A.75oB.60oC.50oD.459 .下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A.已知菱形的两条对角线B.已知菱形的一边和一个内角C.已知菱形的四条边D.已知菱形的周长和面积10 .下列命题正确的是（）A.有两组邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形11 .菱形的周长为热高为力，一条对角线长为力，则另一对角线的长可示为：12 .如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E,求证：ZAFD=Z
10、CBE013 .如图，ZXABC中，AB=AC,AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CFBE交AD于F,连结BF、CE,求证：四边形BECF是菱形。14 .如图，ZXABC中，NACB=90,NB的平分线交高CD于E,交AC于F,FGAB,G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15 .如图，已知BD是aABC的角平分线，AE_LBD交BC于E,交BD于F,ZFAG=ZFADo连结EG、ED,求证：四边形AGED为菱形。16 .如图5所示，已知AABC中，AB=AC,D为BC中点，DEAC,DFAB,E,F为垂足,FG1C,EHlAB,且交于Q,G、H为垂足，求证：四边形DEQF为菱形。17
11、.如图，在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60o,NBAE=20,求NCEF的度数。1 .用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB,PFAD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？4.GH、在四边形ABCD中，E、F、
12、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点HE.（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形.（写出你添加的条件，不要求证明）5、如图，在平行四边形ABCD中，ZDB=60o,AB=2AD,点E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD,交CB的延长线于点G.求证：四边形DEBF是菱形；矩形知识梳理：1 .矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质:边的性质：对边平行且相等.角的性质：四个角都是直角.对角线性质：对角线互相平分且相等.对称性：矩形是中心对称图形，
13、也是轴对称图形.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中，33B、3C、4Dx55 .正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于（）A、1：2B、:1C、1：2D、2：16 .正方形的四条边,四个角,两条对角线.7 .下列说法是否正确，并说明理由.对角线相等的菱形是正方形；（）对角线互相垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四个角相等的四边形是正方形.（）8 .如图：在正方形ABCD中，CF=CE,求证：BGlDF9 .如图，已知锐角AdBC中，以AB、AC为边作正方形ABD
14、E和正方形ACFG连接CE、BG,交点为0,求证：（1）EC=BG;（2）EClBG8 .在正方形中，O对角线AB、BD的交点，过。作OEIO广，交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,求EF的长。点F是CB的延长线上一点，且9 .已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点,DE=BF求证:EAAF.10.正方形ABCD中，AE=CF,则四边形BEDF是3请说明理由。(5)B11(5,)已知：如图，AD是aABC的角平分线，判断四边形AEDF的形状，并说明理由。12(12).在正方形ABCD的边上各取一点E、F77三CDEAC与E,DFAB交AC于，请E*BDC28星页图、G、H,并顺
15、次连结得到四边形ADEFGHo(D问点E、F、G、H怎样取，可使EFGH为正方形？(2)设AE=a,AH=b,EH=c,求证：a2+b2=c21、如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=Ae的度数；(2)若AB=4cm,你能求出aACE的面积吗？bMc2、正方形/8CO中，CE=AV,ZjUCS35，则乙IMW=(A.45B.55C.65BFC(1)求NACE、ZCAE)D.753.在AABC中，AB=CD,D是BC的中点，DE_LAB,DF_LAC,垂足分别为EF.试说明：DE=DF;（2）.只添加一个条件使四边形EDFA是正方形，请你写出至少两种不同的的添加方法（不另外添加辅
16、助线，无须说明理由）4.如图所示，在正方形/WCO中，为。上一点，延长8。至尸，使CF=CE，连结。RBE与DF相交于G，则下面结论错误的是（）A.BE=DFB.BGIDFC.ZDFC+ZCf=90,D.，FDCMABG=M5、如图，正方形488中，对角线交点为。E为OB上的一点,DGj_/于G，DG交于F.求证：OE=OF.6 .为美化环境，某单位须在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：（1）四块图形的形状相同，（2）四块图形的面积相同.按照上述要求，分别给出四种不同的分割方法。7 .如图，正方形A88的对角线相交于点点N在08和OC上，且MVBC，连结
17、DV、A（请说明：DVLMC且DN=MC.四边形基础知识达标训练一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在ABCD中，ZA：ZB：ZC：ND的值可以是（）A.1：2：3：4B.1：2：2：1C.2：2：1：1D.2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A.等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B.对角线相等的四边形是等腰梯形C.等腰梯形是轴对称图形D.等腰梯形的对角线相等4、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,能判定它是正方形的是（）A. A0=0C, OB=ODB. AO=BO
18、=CO=DO, ACBDC.A0=0C,0B=0D,ACBDD.AO=OC=OB=OD5、给出下列四个命题一组对边平行的四边形是平行四边形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直的矩形是正方形顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）中中AB点点中点D7.顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是A.等腰梯形B.直角梯形C.矩形D.平行四边形8、如图：等腰梯形ABCD中，AD/BC,对角线AC、E那么图中的全等三角形共有A.1对B.2对C.3对
19、D.4对9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形B10.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8,则该等腰梯形的面积为A.16B.32C.64D.512二、耐心填一填（每小题3分，共30分）11、对角线平行四边形是矩形。12、如图已知O是ABCD的对角线交点，AC=24,BD=38,AD=14,那么aOBC的13、在平行四边形ABCD中，NC=NB+ND,则NA=,ZD=。14、一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是IOCm,则平行四边形各边长为一Cmo15、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30c?,则这个菱形的另一条对角线长为C
20、mO16、菱形ABCD中，ZA=60o,对角线BD长为7cm,则此菱形周长cm。17、如果一个正方形的对角线长为i,那么它的面积o18、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,NAOB=60。,AB=8,则矩形对角线的长O19如图3,等腰梯形ABCD中，AD/7BC,AB/7DE,BC=8,AB=6,AD=5则ACDE周长O20、要从一张长为40cm,宽为20Cm的矩形纸片中，剪出长为18cm,宽为12Cm的矩形纸片，最多能剪出张。三、用心想一想（共40分）21、（8分）如图：在ABCD中，NBAD的平分线AE交DC于E,若NDAE邙*求NC、NB的度数。23、（8分）已知在梯形ABCD中，A
21、DBC,AB=DC,ND=120。,对角线CA平分ZBCD,且梯形的周长20,求AC。21、（8分）如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点,CE=CF,ABCE与aDCF全等吗？说明理由;若NBEC=60匕求NEFD。24、上,证明题：（8分）如图，ZXABC中NACB=90。，点D、E分别是AC,AB的中点，点F在BC的延长线且NCDF=NA,求证：四边形DECF是平行四边形。25（8分）已知：如图所示，AiABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DEAC,DFAB,要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是试证明：这个多边
22、形是菱形。参考答案I .D；2.C3.B4.B5.B6.B7.D8.C9.D10.CII .相等12.4513.ZA=120o,ZD=6014.22.5,12.515.516. 2817.118.1619.1520.321.解：ZBAD=2ZDAE=225o=50o又VABCDAZC=ZBAD=50ADBCZB=I80o-ZBAD=180o-50=13022 .解：VAD/7BCZ1=Z2又N2=N3.N1=N3AD=DC夕弋XAB=DC得AB=AD=DC=I/在AADC中VZD=120oN1=N3=）二明=3。2又NBCD=2N3=60ZB=ZBCD=60oZBAD=I80o-ZB-Z2=9
23、0oN2=30则BC=2AB=2xX+XX2x=20x=4AB=4BC=8在RtABC中AC=而_4,=4I2=4323 .（DBCEDCF理由：因为四边形ABCD是正方形BC=CD,ZBCD=90oZBCE=ZDCF又CE=CF.,.BCEDCF（2） VCE=CFAZCEF=ZCFEVZFCE=90oZCFE=J8O,190*）=45”XVBCEDCF/.ZCFD=ZBEC=60oZEFD=ZCFD-ZCFE=60o-45=1524 .证明：,DE分别是AC、AB的中点DEBCVZACB=90oACE=1AB=AE2VZA=ZECAZCDF=ZAZCDF=ZECADFCE四边形DECF是平
24、行四边形25 .答条件AE=AF（或AD平分角BAC,等）证明：VDE/ACDF/7AB工四边形AEDF是平行四边形又AE=AF四边形AEDF是菱形。四边形的基础训练一、选择题1 .平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（）.A.锐角B.直角C.钝角D.不确定2 .mse中/I：z=5,则/和/8的度数分别为（）.A.80*,)00B.3(,50C.)，20D.60，12()3 .U7ABCD中的对角线/（C，8。相交于点。，/（C=10,8。=8,则彳%长度的取值范围是A.ADB.AD9C.lAD04 .如图1,QABC。的对角线AC和BD交于。，C=24,80=3弘切-必则80C的周长是
25、（）.4*IE7dA.56B.45C.51D.5975 .已知平行四边形的周长为240n,相邻两边的比为1：2,则较短的边长为5（）.A.3cmB.4cmC.6cmD.m6 .下列说法正确的是（）.图（八）有两组对边分别平行的图形是平行四边形（B）平行四边形的对角线相等（C）平行四边形的对角互补，邻角相等（D）平行四边形的对边平行且相等7、平行四边形的两条对角线把它分成的三角形中,全等三角形共有（）A、2对B、3对C、4对D、6对8、若矩形的对角线是一条边的2倍，则两条对角线所夹的锐角是（）A、30B、450C、60oD、759、矩形具备的性质而菱形不具备的性质是（）A、对角相等B、对边相等C
26、、对角线相等D、对角线互相平分10、菱形的周长是24,两邻角比为1：2,较短的对角线长为（）A、4B、43C、6D、63二.填空题1 .平行四边形的周长为40,两邻边的比为3：5,则四边长分别为2 .已知UJABC。中，/+/C=I40,则N8二3 .已知。是68CD的对角线交点，AC=38mm,D=24m.AD=14mm，那么AOBC的周长等于.4 .QABC。的对角线AC,BD交于O点、,若QABa）的面积是12cm：，则ABOC的面积是5 .QABCr）的周长为36cm，Z=608=6cm,AD与8C的距离IE=SOAAcn=.6 .矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,ZBOC=6
27、0o,若AC=2,贝JAB=.7 .在矩形ABCD中，2AD=AC,DEAC,贝JADE=.8 .菱形的面积为36cm2,一对角线长为9cm,则另一条对角线长为.三、解答题1、已知：如图，Cabc。的周长是36o11,由钝角顶点。向BC引两条高。石，df,且DE=43wr，DF=53m.求这个平行四边形的面积.2、如图1,矩形ABC。中，4二月尸=3,EFLED交BC于F,矩形的周长为22,求E尸的长.3、已知：如图，将矩形ABCO沿着直线8。折叠，使点C落在。处，BC交AO于E,4。=8,48=6,求M的面积.四、证明题1、如图，已知：在OABCO中，E、尸分别是AC,CA的延长线上的点，且
28、CE=F求证：BFDE.2、如图，在AABC中，ZABDES11akdBCDF.4Ir=5解由，组成的方程组，得.1IO.卜=8.Sg3)=z8。E=IOX45=4O5(g,)2、解Y四边形ABC。是矩形，ZJ-Zfi-9()E ：DE1EFDEF-90产;ZJfDZfifF=90/ZED-ADE=90/ZDE=ZBEFD图在E和/=/BDE=ABEFAE=BF.ADEBEF,：.ADBE ADAEBEWU3BE4在Rl4石尸中EF=GBE+BF=473=53、解答：在矩形A8C。中，4CBC， */2-/3当矩形ABCO沿着直线8。折叠后，A8C7)C八关于直线Bo对称.Zl-Z2l=3I，
29、BE=DE设BE-x.vBE=ED,*AE-8-x在阳J8E中，62(8-x)j=x2*.X-6.25Swn78=18.75四、证明题1、证明：Y四边形A8C。是平行四边形,AB=CD.ABMCDZfirfC二LACD：FAB=，DCE：MFB、(FD(SAS)Z=ZF(全等三角形的对应角相等)2、证明：(、LABfC7=90:Z2+Z3-90o又NAa=90。，ZIZ5=90c又Zl=2N3一4, /4=/5/.CF=CD ：Zl=ZZZXAC.DEAB， CDED：CF=ED,(HLAB.DE：.CFDE：.四边形CFED为平行四边形. ：CF=CD, QCFED是菱形.内容总结(1)3.边长为5的正方形的各边长比为
