数值分析第3章5-7节.ppt

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1、1,3.5 曲线拟合的最小二乘法,最小二乘法及其计算,在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合.,2,记误差,则 的各分量分别为 个数据点上的误差.,3,设 是 上线性无关函数族，,在 中找一函数，,使误差平方和,（5.1）,这里,（5.2）,4,这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.,确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.,通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.,5,为了使问题的提法更有一般性

2、，通常在最小二乘法中考虑加权平方和,（5.3）,这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同.,就是 次多项式.,若 是 次多项式，,的一般表达式为（5.2）表示的线性形式.,6,这样，最小二乘问题就转化为求多元函数,（5.4）,的极小点 问题.,由求多元函数极值的必要条件，有,使（5.3）取得最小.,7,若记,（5.5）,上式可改写为,（5.6）,这个方程称为法方程，,可写成矩阵形式,8,其中,（5.7）,要使法方程(5.6)有惟一解，就要求矩阵 非奇异，,9,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,函数 的最小二乘解为,定义10,方程(5.6)存在惟一的解,从而得到,于是,10,这样得

3、到的，,对任何形如(5.2)的，,都有,故 确是所求最小二乘解.,11,一般可取，但这样做当 时，,通常对 的简单情形都可通过求法方程（5.6）得到,给定 的离散数据，,例如，,求解法方程（5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，,若两边取对数得,12,例7,这样就变成了形如（5.2）的线性模型.,此时，若令,则,已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.,13,解,从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，,将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.,图3-4,14,令,这里,故,15,解得,由（5.6）得方程组,于是所求拟合曲线为,16,关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序,其

4、中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，,输出参数 为拟合多项式的系数.,利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.,17,x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）,18,结果如下：,19,例8,设数据 由表3-1给出，,用最小二乘法确定 及.,解,表中第4行为,通过描点可以看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,20,若令,

5、先将 转化为,为确定，,根据最小二乘法，取,则得,数据表见表3-1.,得,21,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,22,利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.,x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);,23,结果如下：,24,用正交多项式做最小二乘拟合,如果 是关于点集,（5.

6、8）,用最小二乘法得到的法方程组（5.6），其系数矩阵 是病态的.,25,（5.9）,则方程（5.6）的解为,且平方误差为,26,接下来根据给定节点 及权函数,构造带权 正交的多项式.,注意，用递推公式表示，即,（5.10）,这里 是首项系数为1的 次多项式，,27,（5.11）,下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.,28,假定 对 及,要证 对 均成立.,由（5.10）有,由（5.10）第二式及（5.11）中 的表达式，有,均成立，,（5.12）,29,而，,于是由（5.12），当 时，,另外，是首项系数为1的 次多项式，它可由,由归纳法假定，,当 时,的线性组合表示.,由归纳法假定又有,

7、30,由假定有,再考虑,（5.13）,利用（5.11）中 表达式及以上结果，得,31,至此已证明了由（5.10）及（5.11）确定的多项式,组成一个关于点集 的正交系.,用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，,只要根据公式（5.10）及（5.11）逐步求 的同时，,相应计算出系数,最后，由 和 的表达式（5.11）有,32,并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的,用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变.,这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.,拟合曲线,33,3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换,当 是周期

8、函数时，显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法.,34,最佳平方三角逼近与三角插值,设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多项式,（6.1）,作为最佳平方逼近函数.,由于三角函数族,在 上是正交函数族，于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是,35,称为傅里叶系数.,函数 按傅里叶系数展开得到的级数,（6.3）,就称为傅里叶级数.,（6.2）,36,只要 在 上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到.,对于最佳平方逼近多项式（6.1）有,由此可以得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式,因为右边不依赖于，左边单调有界，

9、所以级数,37,当 只在给定的离散点集,上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数.,下面只给出奇数个点的情形.,收敛，并有,38,可以证明对任何 成立,令,39,这表明函数族 在点集,上正交.,若令,其中,40,当 时,于是,（6.4）,就是三角插值多项式，系数仍由（6.4）表示.,41,由于,所以函数族 在区间 上是正交的.,42,当 时，个复向量 具有如下正交性：,（6.5）,43,事实上，令,于是,即,若,若,则有,则,从而,44,于是,若,这就证明了（6.5）成立.,即 是正交的.,则,于是,因此，在 个点 上的最小二乘傅里叶逼近为,45,（6.6）,其中,（6.7）

10、,于是由（6.6）得,即,（6.8）,46,而（6.8）是由 求 的过程，称为反变换.,47,快速傅氏变换（FFT）,不论是按（6.7）式由 求，,由 求，,（6.9）,其中(正变换),或(反变换)，,还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数,都可归结为计算,是已知复数序列.,或是按（6.8）,48,当 较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，,直到20世纪60年代中期产生了FFT算法，大大提高了运算速度，从而使傅氏变换得以广泛应用.,FFT算法的基本思想就是尽量减少乘法次数.,49,用（6.9）计算全部，,表面看要做 个乘法，,特别当 时，只有 个不同的值.,因此可

11、把同一个 对应的 相加后再乘，这就能大量减少乘法次数.,50,设正整数 除以 后得商 及余数，,则，,称为 的 同余数，以 表示.,由于,因此计算 时可用 的 同余数 代替，从而推出FFT算法.,以 为例.说明FFT的计算方法.,由于 则（6.9）的和是,（6.10）,故有,51,将 用二进制表示为,其中 只能取0或1.,例如,根据 表示法，有,公式（6.10）可表示为,52,（6.11）,若引入记号,（6.12）,53,则（6.11）变成,它说明利用 同余数可把计算 分为 步，用公式（6.12）计算.,每计算一个 只用2次复数乘法，计算一个 用,次复数乘法，计算全部 共用 次复数乘法.,若注

12、意 公式（6.12）还可进一步简化为,54,将这表达式中二进制表示还原为十进制表示：,55,（6.13）,同样（6.12）中的 也可简化为,即,即 得,56,把二进制表示还原为十进制表示，得,（6.14）,同理（6.12）中 可简化为,即,57,表示为十进制，有,（6.15）,58,根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，由,逐次计算到,见表3-2(略）.,上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形.,根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，一般情况的FFT计算公式如下：,59,（6.16）,其中,从 出发，由 到 算到,一组 占用 个复数单元，计算时需给出两组单元，,括

13、号内的数代表它的位置，在计算机中代表存放数的地址.,即为所求.,60,这个计算公式除了具有不倒地址的优点外，计算只有两重循环，,计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的,就是所求离散频谱的次序.,外循环 由 计算到，内循环 由 计算到,由 计算到,更重要的是整个计算过程省计算量.,由公式看到算一个 共做 次复数乘法，,而最后一步计算 时，由于,61,当 时比值是 它比一般FFT的计算量（次乘法）也快一倍.,我们称（6.16）的计算公式为改进的FFT算法.,62,3.7 有 理 逼 近,有理逼近与连分式,有理函数逼近是指用形如,的函数逼近,与前面讨论一样，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近.,（

14、7.1）,63,如果 最小则可得到最佳有理平方逼近函数.,本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法.,对函数 用泰勒展开得,（7.2）,取部分和,64,（7.3）,65,（7.4）,（7.3）右端为 的无穷连分式的前5项，最后式子,若取（7.3）的前2，4，6，8项，则可分别得到 的以下有理逼近:,是它的紧凑形式.,66,若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近,并计算 处的值 及，计算结果见表3-2.,的准确值为,从表3-1可以看出，,67,但它们的计算量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.,由此看出 的精度比 高出近10万倍，,例9,用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式

15、.,解,给出有理函数,用辗转相除可逐步得到,68,本例中用连分式计算 的值只需3次除法，1次乘法和7次加法.,69,若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法及7次加法.,可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.,对一般的有理函数,（7.1）可转化为一个连分式,它的乘除法运算只需 次.,而直接用有理函数（7.1）计算乘除法次数为 次.,70,帕德逼近,利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.,设 在 的泰勒展开为,（7.5）,它的部分和记作,（7.6）,71,定义11,设,其中 无公因式，且满足条件,（7.8）,则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近，,记作,简称 的帕德逼近.,如果有

16、理函数,（7.7）,72,根据定义，若令,则满足条件（7.8）等价于,即,由于 应用莱布尼茨求导公式得,73,这里 是由（7.6）得到的，,上式两端除，,并由 可得,（7.9）,及,（7.10）,注意当 时,故（7.10）可写成,74,（7.11）,其中 时，,若记,（7.12）,75,则方程组（7.11）的矩阵形式为,定理10,76,根据定理10,求 的帕德逼近时，,首先要由（7.11）解出 的系数，,再由（7.9）直接算出 的系数.,的各阶帕德逼近可列成一张表，称为帕德表（见表3-3）.,77,例10,求 的帕德逼近 及.,解,由 的泰勒展开,得,当 时，由（7.11）得,求得,再由（7.9）得,78,于是得,当 时，由（7.11）得,79,代入（7.9）得,解得,于是得,80,为了求帕德逼近 的误差估计，由(7.9)及(7.11)求得的 系数 及，直接代入则得,将 除上式两端，即得,81,（7.13）,其中,当 时可得误差近似表达式,