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1、第一章 数字电路基础,1.1 概述,1.2 逻辑代数基础,1.3 逻辑代数的基本关系和常用公式,1.4 逻辑函数的表示方法,1.5 逻辑函数式的化简,1.6 研究逻辑函数的两类问题,1.1 概述,数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。,一、基本概念1、数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。如电子表的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。,3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。,有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。负逻辑体制规定：低电平
2、为逻辑1，高电平为逻辑0。下图为采用正逻辑体制所表的示逻辑信号：,2、正逻辑与负逻辑,数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。,3.数制,数制：数字量的计数方法称为数制 任意进制按十进制展开公式:,不同数制间的转换,1）二十转换,例如：,2）十二转换,整数部分：,例如：,小数部分:例：,3）二十六转换,例：将(01011110.10110010)2化为十六进制,4）十六二转换,例：将(8FAC6)16化为二进制,5）八进制数与二进制数的转换,例：将(011110.010111)2化为八进制,例：将(52.43)8化为二进制,6）十六进制数与十
3、进制数的转换,十六进制转换为十进制,十进制转换为十六进制：通过二进制转化,4、二进制运算,1.4.1 二进制算术运算的特点算术运算：1：和十进制算数运算的规则相同 2：逢二进一 特 点：加、减、乘、除 全部可以用移位和相 加这两种操作实现。简化了电路结构,所以数字电路中普遍采用二进制算数运算,4、二进制数运算,反码、补码和补码运算有符号数的表示方法：二进制数的正、负号也是用0/1表示的。在定点运算中，最高位为符号位（0为正，1为负）如+89=（0 1011001）-89=（1 1011001）,二进制数的补码：,最高位为符号位（0为正，1为负）正数的反码、补码和它的原码相同正数的反码=原码正数
4、的补码=原码负数的反码=数值位逐位求反负数的补码=反码+1如+5=（0 101）补-5=（1 011）补,通过补码，将减一个数用加上该数的补码来实现 10 5=5 10+7 12=5（舍弃进位）7+5=12 产生进位的模 7是-5对模数12的补码,若模为16（即四位二进制数时）1011 0111=0100（11-7=4）1011+1001=10100=0100（舍弃进位）（11+916=4）0111+1001=240111是-1001对模24（16）的补码例（见书本）,两个补码表示的二进制数相加时的符号位讨论,例：用二进制补码运算求出1310、1310、1310、1310,结论：将两个加数的符
5、号位和来自最高位数字位的进位相加，结果就是和的符号,解：,5、几种常用的编码,一、十进制代码 几种常用的十进制代码,二、格雷码,特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。2.编码顺序依次变化，按表中顺序变化时，相邻代码只有一位改变状态。应用：减少过渡噪声,三、美国信息交换标准代码（ASC）,ASC是一组七位二进制代码，共128个应用：计算机和通讯领域,一、基本逻辑运算,设：开关闭合=“1”开关不闭合=“0”灯亮，L=1 灯不亮，L=0,1.2 逻辑代数的基本运算,与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。,1与运算,与逻辑表达式：,2或运算,或逻辑表达式：LA+B,或逻
6、辑当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。,3非运算,非逻辑表达式：,非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。,三、其他常用逻辑运算,2或非 由或运算和非运算组合而成。,1与非 由与运算 和非运算组合而成。,3异或,异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。,异或的逻辑表达式为：,1.4.逻辑函数的表示方法,解：第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量L设
7、：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。,（一）、逻辑函数的建立,例1.1 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。,第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。,一般地说，若输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：L=f（A，B，C）,逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。,（二）、逻辑函数的表示方法,1真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一
8、起而组成的表格。,2函数表达式由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。,由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：,解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。,反之，由函数表达式也可以转换成真值表。,例1.2 列出下列函数的真值表：,3逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。,例1.4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。,由函数表达式可以画出逻辑图。,解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。,由逻辑图也可以写出表达式。,解：,例1.3、画出下列函数的逻辑图：,1.3 逻辑代数的定律和运算规则,一、
9、逻辑代数的基本公式,1常量和常量的关系逻辑代数的常量只有“0”和“1”两个，这两个量之间的关系为：00=0 01=0 11=1 0+0=0 0+1=1 1+1=1 2常量和变量的关系逻辑代数的变量用字母来表示，常量和变量之间的关系为：0A=0 1A=A 0+A=A 1+A=13变量和变量的关系逻辑代数的变量用字母来表示，变量和变量之间的关系为：AA=A A=0 A+A=A 4需要特殊记忆的式子是：1+1=1 1+A=1 AA=A A=0 A+A=A,基本定律,1交换律AB=BA A+B=B+A 2结合律A（BC）=（AB）C A+（B+C）=（A+B）+C3分配律A（B+C）=AB+AC A+
10、BC=（A+B）（A+C）4还原律(A)=A5反演律（得.摩根定理）(A B)=A+B(A+B)=AB,二、逻辑代数的基本规则,1.代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：,2.对偶规则,将一个逻辑函数L进行下列变换：，0 1，1 0所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 L 表示。对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达相等，它们的对偶式也一定相等。基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。,3.反演规则,将一个逻辑函数L进行下列变换：，；0 1，1 0；原变量 反变量，
11、反变量 原变量。所得新函数表达式叫做L的反函数，用L表示。,利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。,例 求以下函数的反函数：,解：,在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：,（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例三。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例四。,1.4 逻辑函数的代数化简法,一、逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：,其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。,二、逻辑函数的最简“与或表达式”的标准,（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“
12、”号最少。,三、用代数法化简逻辑函数,1、并项法。运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。,2、吸收法。运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。,如,（3）消去法。,（4）配项法。,在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。,逻辑函数的卡诺图化简法,）,一、最小项的定义与性质,二、逻辑函数的最小项表达式,任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。例 将以下逻辑函数转换成最小项表达式：,解：,=m7+m6+m3+m1,例 将下列逻辑函数转换成最小项表达式：,解：,=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）,三、卡诺图,1相邻最小项 如果两个最
13、小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。例如，最小项ABC和 就是相邻最小项。,如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如,2.卡诺图,最小项的定义：n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。,3卡诺图的结构,（1）二变量卡诺图,（2）三变量卡诺图,（3）四变量卡诺图,仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）
14、直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。,四、用卡诺图表示逻辑函数,1从真值表到卡诺图,2从逻辑表达式到卡诺图,（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。（2）如表达式不是最小项表达式，但是“与或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。,五、逻辑函数的卡诺图化简法,1卡诺图化简逻辑函数的原理:（1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为l项。（2）4个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为l项。（3）8个
15、相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为l项。,总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。,2用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少。（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。,（4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。,3用卡诺图化简逻辑函数的步骤：,（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简
16、与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式,例 用卡诺图化简逻辑函数：L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）,解：（1）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈，合并最小项，得简化的与或表达式:,例4.8 某逻辑函数的真值表如表3所示，用卡诺图化简该逻辑函数。,解：（1）由真值表画出卡诺图。,（2）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：（a）：写出表达式：（b）：写出表达式：,通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。
17、,4卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈0法,例4.9 已知逻辑函数的卡诺图如图所示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与或式。,解：（1）用圈1法画包围圈，得：,（2）用圈0法画包围圈，得：,六、具有无关项的逻辑函数的化简,1无关项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。,带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：L=m（）+d（）,2具有无关项的逻辑函数的化简,化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。,例10：不考虑无关项时，表达式为
18、：,考虑无关项时，表达式为:,注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。,本章小结,1逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非运算。2描述逻辑关系的函数称为逻辑函数。逻辑函数中的变量和函数值都只能取0或1两个值。3常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式、逻辑图等，它们之间可以任意地相互转换。4逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具。应熟记基本公式与基本规则。,5可用两种方法化简逻辑函数，公式法和卡诺图法。公式法是用逻辑代数的基本公式与规则进行化简，必须熟记基本公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。卡诺图法是基于合并相邻最小项的原理进行化简的，特点是简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。,
