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1、第三篇 数学分支中的相关数学模型,1 高等数学相关模型 1.1卫星轨道长度 1.2射击命中概率 1.3人口增长率 2 线性代数相关模型 2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络3 概率统计相关模型 3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力 3.3商品销售量与价格,1 高等数学相关模型,问题,1.1 卫星轨道长度,人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆.我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km,求该卫星的轨道长度.,分析,卫星轨道椭圆的参数方程,椭圆长度,分别是长、短半轴,椭圆积分,无法解析计算,MATLAB程序,function
2、y=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a2*sin(t).2+b2*cos(t).2);,t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1),L2=4*quad(x5,0,pi/2,le-6),L1=4.908996526785276e+004,L2=4.908996531830460e+004,求解,评注,问题,1.2 射击命中概率,炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标中心发射时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差.,分析,设目标中心x=0,y=0,无法解析计算,设弹着点围绕中心成二维正态分布,且偏差在X方向和Y方向相互独立.若椭圆
3、在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80,设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m.,求炮弹落在椭圆形区域内的概率.,则弹着点(x,y)概率密度函数,炮弹命中椭圆形区域的概率,求解：蒙特卡罗方法,作变换,以100(m)为1单位，则,MATLAB程序,a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;for i=1:n x=rand(1,2);end y=0;if x(1)2+x(2)2=1 y=exp(-0.5*(a2*,P=0.3752,m=78.552,x(1)2+b2*x(2)2);z=z+y,m=m+1end,p=4*a*z/2/pi/n,m,评注,问题1,1.3 人口增长
4、率,20世纪美国人口数据(106),计算各年份人口增长率.,记时刻t人口为x(t)，则人口相对增长率为,分析,记1900年为k=0,求解：数值微分三点公式,年增长率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04,评注,问题2,已知某地区20世纪70年代的人口增长率,且1970年人口为210（百万），,试估计1980年的人口.,记时刻t人口为x(t)，则人口增长满足微分方程,分析,记1970年为k=0,求解,评注,1980年该地区人口为230.2（百万）,数值积分梯形公式,为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为x轴，
5、由南到北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位mm）.,习题：国土面积问题,根据地图比例,18mm相当于40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较.,2 线性代数相关模型,背景,2.1 投入产出综合平衡分析,国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）.,投入产出综合平衡模型:根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求.,设国民经济仅由农业、制造
6、业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）,简化问题,说明,假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表,说明,表中数字称为投入系数或消耗系数,假设系数是常数,设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建 立求解各部门总产出的模型.,如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，三个部门总产出？,模型可行：对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出.为使模型可行,投入系数满足？,如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，他们的总产出应分别增加多少？,分析,投入产出综合平衡分析
7、,若有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi，其中对第j个部门的投入为xij，满足的外部需求为di，则,投入产出表每一行都满足,记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有,记投入系数矩阵,产出向量,需求向量,则,或,若I-A可逆，则,各部门总产出,MATLAB程序,a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;d=50 150 100;b=eye(3)-a;x=bd,c=inv(b),三部门总产出:139.2801,267.6056,208.1377亿元,外部需求分别增加1个单位时，总产出分别增加,C=1.
8、3459 0.2504 0.34430.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167,部门关联系数,当对农业的需求增加1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位,模型可行,若,问题,2.2 输电网络,一种大型输电网络可简化为电路,负载电阻,线路内阻,电源电压V,负载电流,列出各负载上电流的方程,设,讨论情况,n=10,求,及总电流,分析,根据电路中电流、电压关系,列出,消,和,求电流方程,求电流方程,其中,MATLAB计算电流程序,R=1;R=6;v=18;n=10;b1=sqarse(1,1,v,n,1);
9、b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n);,a2=diag(R*ones(1,n);a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=ab;I0=sum(I),说明,从n=10到n=20，I0几乎不变，I1-I5变化也很小,Ik+1差不多是Ik的2/3倍,如果n增加到50,100?,可以得到类似的结论,证明,习题：种群的繁殖与稳定收获种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变.种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数
10、量均指其中的雌性.种群年龄记作 当年年龄 的种群数量记作，繁殖率记作（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作 为一年的死亡率），收获量记作，则来年年龄 的种群数量 应为,（1）若 已知，给定收获量，建立求各年龄的稳定种群数量 的模型（用矩阵、向量表示）。（2）设 如要求 为500，400，200，100，100,求。（3）使 均为500，如何达到?,3 概率统计相关模型,问题,3.1合金强度与碳含量,合金的强度y(kg/mm)与其中的碳含量x(%)有比较密切的关系，从生产中收集一批数据.,求拟合函数y(x)，再用回归分析进行检验.,描点作图,分析,y与x近似为线性,拟合 y=ax+b,M
11、ATLAB程序,x=0.1:0.01:0.23;x=x(1:9),x(11:12),x(14);y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;pp=polyfit(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,r*,xx,yy),拟合 y=ax+b,a=140.6194,b=27.0269,评注,是否线性显著,有无异常点,预测,MATLAB统计工具箱,多元线性回归语法,b=regress(Y,X),b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),Y,X为按列
12、排列的数据,说明,b,bint为回归系数估计值和他们的置信区间,alpha为显著性水平（缺省时设定为0.05）,stats包括R2，F，概率p,r,rint为残差及置信区间，可用rcoplot(r,rint)画图,合金强度与碳含量问题回归模型,回归模型与统计检验,MATLAB程序,x1=0.1:0.01:0.18;x=x1 0.2 0.21 0.23;y=42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5;x=ones(12,1)x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
13、,b=27.0269 140.6194bint=22.3226 31.7313 111.7842 169.4546stats=0.9219 118.0670 0.0000,y=27.0269+140.6194x,线性显著,模型成立,有无异常点,画残差分布图,除第8个数据外其余残差的置信区间均包含零点,第8个点应视为异常点，剔除后重新计算，可得,b=26.8968 139.9043 bint=24.1330 29.6606 122.7939 157.0148stats=0.9744 342.1259 0.0000,评注,预测,问题,3.2 年龄与运动能力,将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组
14、，,求年龄对这种运动能力的影响关系.,多项式回归,分析,MATLAB散点图程序,每组两人测量其旋转定向能力.,x=17:2:29;y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;plot(x,y1,+,x,y2,+)axis(15 30 15 35),应拟合一条二次曲线,可利用ployfit,一元多项式回归,年龄与运动能力的二次模型,MATLAB程序,x1=17:2:29;x=x1,x1;y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3524.35
15、 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,s=polyfit(x,y,2);p,p=-0.2003 8.9782-72.2150,a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150,S是一个数据结构,Y,delta=polyconf(p,x,s);Y,得到x与y的拟合效果,求解,统计检验,y1=mean(y);resquare=sum(Y-y1).2)./sum(y-y1).2),s=sqrt(sum(y-Y).2)./12),rsquare=0.6980 s=2.0831,衡量拟合优劣的指标,问题,3.3 商品销售量与价格,某厂生产电器的销售量y与竞
16、争对手的价格x1和本厂的价格x2有关.在10个城市的销售记录,建立y与x1和x2的关系式,分析,对模型和系数进行检验,若本厂售价160元，对手售价170元，预测销售量.,画散点图,y与x2有较明显的线性关系，而y与x1之间的关系则难以确定，作几种尝试，用统计分析决定优劣.,设回归模型,MATLAB程序,x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150;x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;x=ones(10,1)x1 x2;b,bint,r,r
17、int,stats=regress(y,x);,b=66.5176 0.4139 0.2698 bint=-32.5060 165.5411-0.2018 1.0296-0.4611-0.0785stats=0.6527 6.5786 0.0247,评注,结果不是太好,二次函数改进,MATLAB统计工具箱,多元二项式回归 rstool,rstool(x,y,model,alpha),x,y分别为nxm矩阵和n维向量,说明,alpha为显著性水平（缺省时为0.05）,model由下列4个模型中选择1个（缺省时为线性模型）,linear线性,purequadratic纯二次,interaction交叉,quadratic完全二次,纯二次模型,程序,x1=120,140,190,130,155,175,125,145,180,150;x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;x=x1,x2;rstool(x,y,purequadratic),评注,预测,
