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1.4单调有界定理 及其应用,定义4.1(单调数列定义),一、单调有界定理,则称 是严格单调递增（递减）数列.,观察下面单调递增的有界数列,定理4.1 单调有界数列必有极限.,证明,推论4.1,(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；,(2)若单调数列的一个子列趋向去穷,则此数列发散；,(3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；,(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界,(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；,例1,证,(舍去),例2,例3,证明:,例4 研究下面两数列的极限,解：,例5 求,解：,例6,单调,有界,欧拉常数是有理数还是无理数还是个开放问题,二、闭区间套定理,即,例 6,证明,证明:,即构成闭区间套,总结,(1)若单调数列的一个子列收敛，则这个数列收敛,(3)单调数列要么极限存在要么趋向到,(4)单调数列收敛的充分必要件是有界,(2)若单调数列的一个子列趋向于 则此数列趋向,(5)闭区间套定理,
