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1、指导教师：,论文题目:数学分析中的反例,论文的结构和主要内容,1,2,3,4,5,研究背景和意义,反例在数学分析中的作用,典型的反例,常用的构造反例的方法,如何利用反例解决常见问题,1.研究背景和意义,背景 纵观整个数学领域各学科的发展史可知，数学分析是其中一门十分重要的基础课程，所谓基础不牢，地动山摇，所以这门课程的学习便显得尤为的重要。因此，反例的研究及其应用对于数学分析课程中数学思想的进化有很大的推动力。现如今，通过对现存的国内和国外的各种类型与数学分析和反例有关的文献研究发现：这其中的大部分都是针对反例的作用及其构造方法的研究，然而这其中又有相当大的一部分反例几乎是没有经过比较正规系统
2、的总结，它们大都是繁杂而凌乱的。所以，通过对反例的学习以及一些常见问题的分析概括，总结反例的构成与使用方法，并以此为基础尝试着自己构造反例解决问题，这对于我们的学习成果将会产生很大的影响，大多数时候这些影响都是好的方面。,意义 数学分析这一课程是大学数学必不可少的一门课，且其在数学领域中的地位也是举足轻重的，所以学好数学分析是很具有挑战性的，这其中反例又发挥着不可小觑的作用，这里所说的反例是指在数学领域使某数学命题不成立的例子。在数学分析的学习中，反例的存在是证明并修改错误的一种方法，通过引入合适的反例能使我们对基本概念及性质的理解更加透彻。反证法就是一种很好地利用了举反例的方法，堪称反例应用
3、的经典，也是最能体现反例价值及意义的。学会如何构造反例是一项重要的数学技能，能帮助我们深入理解知识解决问题,诱发创造力开阔思维，打破思维定势。该论文主要从反例在数学分析中所起的作用出发，讲述一些典型的和常用的反例，还有构造反例的方法和技巧，以及怎样利用反例使问题变得简单。,2.反例在数学分析中的作用,反例在概念学习中的作用,帮助掌握基本定理,1 帮助加深对概念的理解2 能够准确把握概念之间的联系3 揭示概念的内涵,反例有助于说明公式、法则使用条件的严密性,帮助培养逆向思维提高判断力,2.1反例在概念学习中的作用,反例帮助加深对概念的理解 概念本身就是极具抽象性的，大多数的时候我们是很难能够从直
4、观的角度去理解其含义的，此时若以感性认识为基础对概念进行理解分析，就能进一步深层地得剖析概念的本质意义。往往通过列举或构造反例的方式进行说明，能够准确地区分开相似并且容易混淆在一起的概念，并且去除掉那些模糊不清的认识，更加准确地把握概念的本质，而能够在更深层次上理解概念的内涵。当涉及到某某性质时，同样反例会发挥很大的作用，帮助我们加深对性质的理解和使用。,能够准确把握概念之间的联系 数学分析中的概念繁多,通过列举反例的方式能够明确地区分它们彼此之间的区别和联系,看透其本质，据此能够提高我们的学习能力和理解能力，并且方便记忆和使用。,揭示概念的内涵数学分析中很多重要的概念或定义都是以抽象化的数学
5、语言形式化来描述的，这样就导致了我们很难从直观的角度直接理解其内涵。假如用常规的方式去死记硬背而不能够充分理解，那么在应用的时候将会因为产生的错误认识，而得不到正确的解题结果。很多时候若机械地从正面去学习,但却不能准确把握概念的内涵,即使对一个概念重复记忆再多次，也不能发挥其最佳效果。对于模糊不清甚至是不正确的认识和理解,此时以反例去纠正将会得到意想不到的结果。,2.2帮助掌握基本定理,在数学分析的学习中大多数的基本定理很多时候是在指定的条件下和范围内才成立的，而这些有时在书中并没有对它们给出十分确切的说法，往往都是以抽象的而又简单的语言总结给出，这会在学习的时候比较困难，不能准确的理解。重视
6、反例可以增加我们对定理的理解，在学习命题时，使用恰当的反例来论证错误的命题是非常简洁、有效的一种方法，这对那些初学者来说是非常简洁明了的,更容易理解和把握定理及其基本性质，也能使我们养成严密推理、重视条件的习惯。除此之外在学习中常把由归纳总结的命题误认为是定理,为了纠正这种错误,运用反例是最为有效的一种方法。,3典型的反例,处处连续而处处不可导函数 在数学分析中，通常情况下一元函数在某一点处连续但是不一定可导，而在这整个的发展历程里，数学家们一直猜想：连续函数在其定义区间上，至多除去可列个点外都是可导的也就是说，连续函数的不可导点至多是可列多个。随着级数理论的发展，函数的表示方式被不断地扩展，
7、数学家们渐渐地掌握了用函数项级数来表示更广泛的函数类。在1872年weierstrass利用函数项级数第一次构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，至此该函数成为数学分析中一个典型的例子。,4常用的构造反例的方法,特例构造法 性质构造法类比构造法特殊函数构造法,4.1利用特例来构造反例,利用特例来构造反例的方法实际上就是对那些经典且特别的例子，根据我们的需要进行重组或者改变部分内容，使之与题目的要求相呼应，继而以此构造出的新反例来解决问题。例1 是否能够确定间断函数的平方依旧是间断函数。众所周知绝对值相同而符号相反即互为相反数的的两个数,它们的平方是相等的。我们知道狄利克雷函数是处处不连续的,
8、利用这个特殊的函数将其在无理数点处的函数值改为-1。,由此得到了所要的反例，简洁明了的证明间断函数的平方不一定是还间断函数。很多时候特例反例构造法是非常好用的一种证明、解题方法，也是我们用的最多的方法，理解和使用起来很方便，解决问题的速度快，在做选择判断题时能够节省很多时间。,4.2利用性质来构造反例,利用性质来构造反例的方法是我们比较常用，能够熟练运用的一种方法，就是根据命题、定理、结论等的不同性质构造出有实际意义的反例，有一定的方法和技巧可循，对我们很有帮助。,我,4.3利用类比的方法构造反例,通过类比法构造反例的关键在于仔细观察命题的成立条件及结论，以其所表现出来的特点联系逆向思维的思考
9、方式，构造出与之相反却类似的例子，这就是类比构造法。,3,我,4.4利用特殊函数来构造反例,特殊函数一般是指数学分析中的一些特殊的函数，例如取整、对数、指数、三角函数等，我们正是利用这些函数的特殊性构造出符合要求的反例达到目的。,总结,文章中研究的反例，是在已有理论和逻辑推理的基础上建立的。通过对反例的学习增加了我们对知识的理解，并且拓宽了解题思路，活跃了思维，同时也提高了自身的学习、分析与解决问题的能力。数学分析学习中通过反例，可以使我们对某些概念、性质及定理的模糊认识变得更加清晰，加深对教材内容的理解，熟悉某些重要命题的条件，纠正理解上的偏差。熟练的使用反例可以使一些疑难问题能够轻松解决，
10、尤其考试的时候能够节省时间。本文较为系统的概括了数学分析中一些典型的反例的应用，反例的构造方法。因为在学习时我们往往对一些基本概念和定理的掌握不够精确，理解的不够彻底，致使计算或证明的时候出现错误，通过反例能够很大程度上避免这一现象。因此，通过反例的引入、构造和使用，能够很好的解决这类的问题，并且反例应该是经过挑选的，既要简洁明了又能够一针见血的说明问题。,文章中研究的反例，是在已有理论和逻辑推理的基础上建立的。通过对反例的学习增加了我们对知识的理解，并且拓宽了解题思路，活跃了思维，同时也提高了自身的学习、分析与解决问题的能力。数学分析学习中通过反例，可以使我们对某些概念、性质及定理的模糊认识
11、变得更加清晰，加深对教材内容的理解，熟悉某些重要命题的条件，纠正理解上的偏差。熟练的使用反例可以使一些疑难问题能够轻松解决，尤其考试的时候能够节省时间。本文较为系统的概括了数学分析中一些典型的反例的应用，反例的构造方法。因为在学习时我们往往对一些基本概念和定理的掌握不够精确，理解的不够彻底，致使计算或证明的时候出现错误，通过反例能够很大程度上避免这一现象。因此，通过反例的引入、构造和使用，能够很好的解决这类的问题，并且反例应该是经过挑选的，既要简洁明了又能够一针见血的说明问题。,大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能够顺利完成，要特别感谢我的导师王树忠老师，感谢王老师给我的关心和帮助。最后向所有关心和帮助过我的人表示真心的感谢。,致谢,谢 谢 观 看,
