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1、多元统计分析简介,多元统计分析：通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及解释这些变量内在的变化规律。,一元统计分析一个随机变量的 统计规律多元统计分析多个随机变量之间的 相互依赖关系及内在统计规律性,多元统计分析应用：经济学、工业、农业、医学、教育学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境学、气象、文学等许多领域,多元统计分析主要内容：1、多元正态总体的参数估计和假设检验2、常用的处理多元数据的统计方法：1）聚类分析 2）判别分析 3）主成分分析 4）因子分析 5）多重多元回归分析等等,第一章多元统计中的基本概念,第一节 基本概念第二节 多元正态分布第三节 多元统计中的常用
2、分布,第一节基本概念,1.随机向量 Def1:将p个随机变量 的整体称为p维随机向量，记作。,分布函数,离散型：分布律连续型：密度函数,分布密度函数,满足,分布密度函数应满足的两个条件？,Def2:设 是p维随机向量，称由它的q（qp）个分量组成的子向量 的分布为 的边缘分布，相对的把 的分布称为联合分布。,边缘分布函数和边缘分布密度可由联合分布和联合密度确定。,Def3:若p个随机变量 的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称 是相互独立的。,2.随机向量的数字特征,（1）数学期望,其中，,均值向量具有如下性质：,（2）协方差矩阵 设 称,为X的协差阵。,若X的协差阵存在，且每个分量的方差大
3、于0，则称随机变量X的相关阵为，其中为相关系数。,设标准离差阵为则有,称X和Y的协差阵为：,协差阵具有如下性质：（试证之）,多元分析的任务分析各变量之间的关系，推断总体的性质,为一维随机变量为多维随机变量(随机向量),3.多元总体 多元分析研究具有多个(如p个)属性(指标)的对象组成的总体-多元总体。从总体中任意抽出一个对象(总体单元)，其p个属性的值为,多元总体多维随机变量(随机向量)可能取值的全体。,观测矩阵（随机）（样本资料阵）,4.多元样本的相关概念,从多元总体中随机抽取n个个体。,i.i.d.简单随机样本,多元分析的 研究对象,（1）样本平均值,样本平均值是n个样本点的重心,（2）样
4、本离差阵,样本均值和样本离差阵的矩阵表示：,（3）样本协差阵,（4）样本相关阵,-样本相关系数,非负定矩阵,第二节多元正态分布,1.多元正态分布,若随机向量 的分布密度函数为,则称 服从p维正态分布。记作：其数学期望与协方差矩阵分别为：,其中,为对称正定矩阵，,特例1(一元正态分布),则,特例2(二元正态分布),设,则,2.多元正态分布的常用性质,分布？,第三节 多元统计中的常用分布,在一元统计中，卡方分布、t分布和F分布在参数估计和假设检验中起着非常重要的作用。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、Hotelling-T2分布和Wilks分布，在多元参数估计和假设检验中占有非常重要
5、的地位。,1、Wishart分布（1）Wishart分布由Wishart在1928年推导出来。,（2）Wishart分布的性质,2、Hotelling-T2分布,（2）Hotelling-T2分布的性质,3、Wilks分布,多元正态总体下的假设检验问题。,附 录,指标：定量；定性 类型：间隔尺度：用连续的量来表示，如长度，重量等；若存在绝对零点，又称比例尺度；有序尺度：没有明确的数量表示，只是划分一些等级，等级间有次序关系，如产品分上中下三等，有次序关系，但无数量表示。名义尺度：既无数量表示，又无次序关系，如某物体有红黄白三种颜色，回答问卷中是与否等等。,一、三种数据类型,二、距离,1.距离的
6、概念(描述样本间差异程度的量),2.距离的定义 定义如果第i号样本 和第j号样本 的函数 满足i)当且仅当 时；ii)对一切iii)则称 是一种广义距离。如果进一步还满足iv)则称 是一种距离。,3.欧几里德距离(欧氏距离),欧氏距离的性质)平移不变性 将每个坐标 加上一个常数 后，任何二点之间的距离保持不变。)对正交变换的不变性)如果将每个点的坐标都增加C倍，点间距离也增加C倍。缺点与测量单位有关，不同属性之间的差别等同看待。,4.马氏距离(Mahalanobis),设X是原始数据矩阵，S是其协方差矩阵，则马氏距离定义为,马氏距离的性质)平移不变性)对任意可逆线性变换的不变性 设 为可逆矩阵
7、，若对任何一个点 做变换而得到一个新的点，这个变换叫可逆线性变换。由标准化数据和中心化数据计算出的两点间的马氏距离相同，且与测量单位无关。进一步，作可逆变换后仍旧不变。缺点夸大了变化微小的变量的作用。,5.B模距离,设X是原始数据矩阵，B是一个正定矩阵，则B模距离定义为,说明 时为欧氏距离，时为马氏距离。当各变量对区分样本有不同作用时，可以给各变量以不同权重。这时可取B为 B矩阵元素的作用-权重。(根据专业知识或用统计方法来确定。),特别，当q=1时，即为绝对距离：,当q=无穷大时，即为 切比雪夫距离：,7.注释 可根据实际问题的要求，自己定义所需要的距离。样本单元之间的差异大小还可以用相似系数来表示。,6.明氏（Minkowski）距离,当q=2时，即为 欧氏距离,三、相似系数,1.概述,如果第i号样本 和第j号样本 的函数 满足当二样本点差异越大时 越小，二样本点越相似时 越大。则称为样本 和 之间的相似系数。相似系数一般满足,2.定量数据常用的相似系数 相关系数(注意与前面相关系数定义的不同之处。)夹角余弦,
