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1、9.1数概念与数意识的形成过程,皮亚杰的数概念学习理论：“数”是异于“物理性知识”与社会性知识”的所谓“逻辑数学性知识”。他把数看做是一种“有序的分类”，也就是说，儿童必须能掌握分类和序列性概念的逻辑操作才能了解数字。他认为“数守恒”的能力是数学理解的先决条件，儿童到了六岁半左右才具备这样的能力，如果不具备这样的能力，就不算是对数目有真正的了解，所谓守恒概念是指物体的数或量不因为位置形状的改变而改变。盖尔曼的儿童数概念理论盖尔曼将学前儿童数学知识和技巧分成两种形态1.数学抽象能力，数学抽象能力是帮助儿童建立数值概念2数学推理原则，它是帮助儿童对数量做进一步的操作而得到有效的推理,数概念的特点,
2、在所有数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。正因为大多数的数概念都不贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情景和活动,数概念是一个典型的过程性概念，也就是说它即使过程又是概念。数概念的这种两重性一方面增加了概念的内涵，另一方面也为教学提供了一种层次，使学生在具体操作的基础上，经过压缩和内化，逐步形成作为对象的概念，并纳入了已有的认知结构。过程概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，与初等几何概念不同的是，数概念的显著特点是要经历一个从过程压缩为对象的抽象过程，因此，教学中虽然可以借助实际
3、的模型操作，但又不能停留于具体的过程,3表征的多样性,例 0.5的表达表征方式的多样性一方面可以为问题解决带来灵活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆与误解。研究表明，对数概念符号的多重意义的认识是帮助学生形成数学能力的一部分，因此如何帮助学生发展数学符号与过程的意义是数学教育家目前最重要的课题之一,外延的扩张,在中小学数学课程中，数概念是一个典型的外延型概念，而且其外延经过了多次的扩张。从逻辑上看，数系的扩张有两条主要的途径：1、通过添加新的元素，如在正整数集合中加入数“0”就得到了自然数，从而使得两个相同的数可以相减；在自然数中加入负数就得到了全体整数2、等式抽象方法。这种方法的优势是能够
4、揭示数概念的本质属性，如从中可以看到，自然数看扩张为整数的目的是现实加法的对称化，整数向有理数的扩张可以现实乘法的对称化，而有理数向实数的扩张则是为了连续化。,数概念的形成,从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数和复数。从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，但是对虚数和无理数的研究寥寥无几。有理数概念是学生在小学阶段遇到的最重要且最复杂的概念之一，其重要性从以下几方面看出：1、实践角度，能有效的处理这些概念将大大的改进儿童理解和把握现实世界中的情况和问题能力2、心理学角度，有理数概念为儿童提供一个丰富的领域，使他们能够形成和扩张今后智力发展所必须的智力结构3、数学角度
5、，有理数的概念掌握以后为以后初等代数计算提供了可靠的基础,自然数,皮亚杰数守恒概念的特点1、相互性：某部分增加了就会抵消另一减少的部分，二者之间具有补偿性用。2、同一性：自始至终设计同样的数与量，没有加多也没有拿走任何东西3、逆反性：某一改变状态可以在心里以同等但反向的旋转被逆反回到原来状态,皮亚杰的儿童对数概念的认识三个发展阶段,第一阶段（4-5岁）是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系去建构两组有同样数目的实物。第二阶段（5-6岁）是过度时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解第三阶段（6岁半以后）是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同等
6、性，例如用数的，或用一一对应的方式，并且也能理解守恒概念。不管外观安排如何变化，都不会影响其对同等性的判断,盖尔曼和盖尔里斯特的计数原则,（1）一对一原则：计数时要遵循“区分”和“标记”这两个过程。也就是集合中的每一个项目只能有一个数字标记，且标记不能重复。（2）规定顺序原则：在每一次在计数时，计数的“标记”必须是遵循同样顺序，也就是在序列中出现的次序是固定的（3）基数原则：计数集合中最后一个项目的标记，即代表此事物的项目总数（4）抽象原则：指以上三原则均可适用于任何可数的事物，即任何东西皆可拿来数，具体的椅子或抽象的心灵都可数（5）次序无关原则：只要遵守其他计数原则，集合中的项目无论从哪一个
7、开始数起，并不影响其结果 上述五项原则，强调计数现象，但这并不意味着儿童能“明确且系统”的完成不同种的作业，这些能力的实际表现会逐渐统和而稳定。,斯蒂夫等人对儿童数数的发展六个阶段,（1）数序。儿童将个数由1开始依序念出，但是不知其意义。这是一种机械记忆（2）以知觉单位为计数对象。儿童开始会数东西时只能数知觉单位（3）以心像单位为计数对象。以心中想象的东西作为数数的对象，称为心像单位。（4）以动作单位为计数对象。不数想象中的东西，而是数自己的动作（5）以语言单位为计数对象。本阶段的数数行为必须有意识地控制念数字之间开始与结束的时机（6）以抽象单位为计数对象。知道一个数字代表一个集合的数,位值,
8、从20世纪70年代位值概念就一直是数学教育心理学的一个研究热点，其中的一些重要成果：贝德纳兹、詹妮弗的研究发现（1）学生把“个、十、百”的位值含义更多的根据位值顺序来理解（2）学生把借位的含义解释为“删去一个数位u，拿走一个，在下一个数位上加一”整数和小数之间的位值联系对学习是有利的，但是儿童通常只注意整数方面而未能适应小数方面对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期有色的筹码是金钱经常被用来作为表示位值概念和运算的操作工具，但是他们却增加了已知的复杂性学生学习位值概念时产生错误的主要原因是英语中位值系统的语言复杂性,为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅助工具便应运而生，最为著名的是狄
9、恩斯的“狄氏多层算术积木”，他提出了下列四项原则：活动原则：教儿童玩积木时，首先就该任其自由的玩耍积木，让他们了解积木的意义活动原则：数学变化原则。数学变量的变换情况并不影响变量之间的一些恒定直觉变异原则：数学概念结构不会因为知觉受体的改变而改变,分数,图形中整体的一部分子集集合关系除法中等分除的商小数数轴上的一点比,作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括：,莱什等人进一步从有理数的子结构的角度深入讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数作为“算子”的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系（下页）由图可见：1.拆分和部分整体的子结构是其他子结
10、构的基础2.子结构中的比是促成掌握等价概念的中介3.算子和度量子结构在加法和乘法理解中具有重要的意义由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简单的过程,拆分和部分整数,比,算子,商,度量,等价,乘法,解决问题,加法,分数意义关系网,皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念发展过程：4岁4岁半儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的计划或图示4岁6岁儿童对于规则的、小范围的东西有分为两半的能力，如果整体增加，分成一半迟缓6岁7岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进行二等分,赫
11、伯特和特尼森研究58岁分数概念发展情形改成长度模式为伯特尔和萨瓦达发现，儿童处理等分长方形或圆形区域，其分数概念的发展顺序为,哈特分数概念理解的层次,能用部分全体来表示 的分数意义能利用子集集合来表示分数（）能利用等值分数写出分数符号或图标能解决需要不止一个运算的分数问题,分数概念形成过程之中，有四个关键因素,对单位量的认知。处理分数问题最重要的一个概念就是单位量的确认具有等分割的概念，处理分数问题的另一个重要的概念就是一个可以除尽的全体理解部分与整体之间的关系确认单位分量（数）,小数和分数异同的比较,小数和整数知识的比较,小数概念的形成,形成两条基本途径:1.通过分数的“部分与整体”关系，或
12、者利用整数的位值概念2.一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之几的分量,从整数的位值概念来看小数概念的形成位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出位名-千位 百位 十位 个位位值-数字-为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩大至负整数;利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位除以10的结果，有了新符号（小数符号）及新位名的产生：指数 小数 新位名=0.1 十分位=0.2 百分位-,数意识形成与发展数意识的解释，目前并不统一，几种代表性的说法,9.2运算、估算技能与算法思想的形成,9.2.1 整数加减法的研究运算技能的形成 乘除法的研究 分数与小数的运算加减
13、法的研究,乘除法的研究,小数与分数的运算,估算技能的形成强调估算技能的原因 与数学应用有关、源于对数意识的重视一个好的估算着至少应有的素质重组：改变数字数据以方便心算转换：把原有的结构转成更易处理的形式调节：计算中及后，可调节估算值至接近的近似值估算技能与心算技能密切相关，重视心算技能培养的原因 1.心算是大多数人运用的主要的计算方式 2.在大多数情况下，心算是最简单易行的 3.做心算有利于对数的特性的理解 4.心算过程本身就是一种创造性的问题解决活动,算法思想的初步形成算法的一般要求可以归纳为：算法的可行性、确定性、有穷性、有效性、普遍性,9.3算术中的问题解决在探讨小学生解决算术问题方面三
14、种研究方法：个别交谈、反应潜伏期、用手指和客观直接模仿，或直接回忆加法表算术问题的基本类型及其解题策略 1.加减法应用题的基本类型 2.乘除法应用题的基本类型 乘：大小改变、交叉运算、比例因子 除：求同单位量之间的比率、求异单位量之间的比率、除数为异单位量之间比率的除法、除数为大小改变因子的乘法、求反因子 四则运算的统一分类：如马绍尔将算术文字题分为五个类型：改变、重组、比较、重复、变化,算术问题的难度分析影响算术问题难度的主要因素：1、未知数的位置：在“改变”类型中，不管是添加型或拿走行，未知数所在的位置越在前面，难度越高。是由于语意结构与儿童解题的策略产生冲突 2、语言的表述：解题的难度受
15、题目中的叙述语的不一致性的影响 3、数字的形式：对于乘法应用题来说，问题类型对学生的影响不大，数字形式才是关键 4、问题的结构：学生在解决除法问题时往往会形成“等分模式”的思维定势 5、单位的变化 6、问题的表征,9.4数与运算的教学数与运算教学的认知分析认知层次,难点解析小学的教学与有理数概念有关 多数发展都产生于重要的认知改组的初期 重要的质变发生在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征系统中 表征系统的作用是迥异不同的 有理数概念包含了一大套整合了得子结构和加工过程有理数概念的教学难点主要集中在小数和分数上 计数系统知识、运算规则知识、数量表示的知识整数的减法和带余除法的困难（例哈特等人
16、的研究）学生在标小数点上有难度例2.3*10=2.30 学生容易产生“乘法使结果变大”“除法使结果变小”的 想法 学生缺少小数的稠密性概念 缺乏位值概念，比较大小有困难,概念误解数与运算部分中分数概念的误解大体以下三方面：单位量问题、等分观念的错差、受整数图示的影响小数概念方面小数运算过程中三个关键点：如何将运用问题或横式问题改为竖式计算 计算数值的答案 决定小数点的位值乘除法的学习中学生容易产生的各种错误：1以为要使结果变小就用除法2相信乘数越大、积就越大 3.习惯用大数除以小数 4.等分除与包含除混淆 5.会以表面线索来解题 6.不考虑包含除的余数 7.以为除法就是等分除 8.“几个几”与“几的倍数”混淆,有关数与运算教学的几点建议数与运算的教学几点建议 提倡算法的多样化 既注重句法规则，又关注语义分析 要合理的使用教学模型 要关注表象操作层面,9.5研究展望,1.小学生解决算术问题有什么特点？2.中国学生是如何学习数与运算的？3.位值概念对数与运算的学习有什么重要意义？4.估算技能与运算技能在形成的机制上有什么不同？5.计算机的使用对学生的运算技能和估算技能有什么影响？,
