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1、差分方程模型,一 差分方程,1 差分：,设函数，记为，当 t 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列，,则差 称为函数 的差分，也称一阶差分，记为，即,二阶差分,同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。,差分的性质：,2 差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如,3 差分方程的阶,方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。,不同形式的方程可互相转化。,4 差分方程的解,如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。,例,一阶线性方程,有解,类似于微分方程可定义初值条件，特解等。,二 差分方程平衡点的稳定性,1 对于一阶线性常系数差
2、分方程,满足方程,的解，称为上方程的平衡点。,即平衡点为,由于,方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面方程零点的稳定性。,方程（2）的解可表示为,可得到下面的稳定性结论。,当且仅当,时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而方程（1）的平衡点稳定。,对于n维向量 常数矩阵A构成的方程组,称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。,结论1,若 r(A)1，则其平衡点是不稳定的；若 r(A)=1，稳定性不确定。,A的特征根的集合,称为矩阵A的谱，称,为矩阵A的谱半径。,2 对于二阶线性常系数差分方程,平衡点为,为了得到（4）零点的稳定性,我们求解方程（4）。,写出特征方程,解出特征值,通解为,其中常
3、数 由初值条件 确定。,当且仅当,时，方程（4）的平衡点是稳定的。,结论2,非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方程（4）来研究。,对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根,3 一阶非线性差分方程,平衡点 通过求解方程,而得到。,研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部分的稳定性。,将方程（6）的右端在 点作泰勒展开只取一次项，（6）近似为,也是（7）平衡点。,当,结论3,时，方程（6）与（7）,平衡点的稳定性相同。,结论4,当,时，方程（7）平衡点是稳定的；,当,时，方程（7）平衡点是不稳定的。,三 常微分方程向差分方程转化（数值解）,1 Euler 方法,求初值问题的近似解。,只要给定
4、 就可求得,先把自变量所在的区间 n 等分；,例1 从 出发并取，求下列初值问题的近似解。,解,继续下去，自变量使用等间隔值，并生成其 n 个值，令,步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。,优点：容易编程计算。,例2 从 出发并取，求下列初值问题的近似解。,解,解,Malthus 模型的离散形式,例3 对于方程组的情形，Euler 方法同样可用。,先把自变量所在的区间 n 等分；,步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。,对捕食模型,用Euler法求出前三次逼近，初始条件为,解,第一组点：,第一组点：,第二组点：,第三组点：,继续下去，就可生成数值解 表。,如果方程组为自治系统，在相平面上就
5、可得到近似的轨线图。,上机练习1：,对捕食模型,用Euler法，在相平面上画出轨线的近似图，观察其变化情况。,2 Runge-kutta型方法,也是用来求初值问题的近似解，但比Euler 方法收敛更快。,先把自变量所在的区间 n 等分；,Euler 方法,常取,单步方法。,四 差分方程模型举例,1 差分形式Logistic 模型,离散化,变形,令 b=r+1,1）平衡点及其稳定性,求平衡点：,平衡点为,根据稳定的条件,当 b3 时，是不稳定的平衡点。,2）数值计算（上机练习2）,初值取 b=1.7，2.6，3.3，3.45，3.55，3.57 k=1,2,100,观察 的变化趋势。,出现倍周期
6、收敛现象。,一般地，一阶自治的非线性差分方程,3）混沌与分岔,若 x*满足,则称 x*为不动点，1-周期点。,若 x*满足,则称 x*为2-周期点。,4-周期点，8-周期点等，倍周期分岔。,练习：竞争猎兽模型,斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在,降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。试建立数学模型考察两种群的演化规律。,一 建立模型,根据题意，建立差分方程组,二 模型求解,求平衡点,在平衡点处两种群的种群量不
7、会发生变化。即如果一开始它们数量为150和200时，那么每天数量都保持不变。,数值计算在平衡点附近的情形,情形1,情形2,情形3,三 结论,对初始点极其敏感，这样的平衡点是不稳定的。,栖息地共有350头猫头鹰和隼。,1）如果有150头猫头鹰，那么我们预测 猫头鹰永远停留在这个数量上。,2）如果从栖息地移走一头猫头鹰，那么 我们预测猫头鹰将会灭绝。,3）如果在栖息地安置151头猫头鹰，那 么我们预测猫头鹰将会无限增长而隼 将会灭绝。,4）如果开始在栖息地安置少量的头猫头鹰 和隼，那么我们预测猫头鹰将会灭绝而 隼将会无限增长，即对猫头鹰的生存不 利。,问题1：如果开始两种群的数量都多于它们的平衡点的数值，情况又如何？,问题2：系数变化怎样影响它们的演化规律？,提示：,
