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1、综合评价方法及其应用,一、什么是综合评价问题历年竞赛题,（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（11）CUMCM2009
2、-D:会议筹备问题。,1、综合评价的目的,综合评价一般表现为以下几类问题：。分类对所研究对象的全部个体进行分类，但不同于复合分组（重叠分组）；。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。当然必须有参考系。,构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。,2、构成综合评价问题的五个要素,2、构成综合评价问题的五个要素,（2）评价指标 评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成
3、，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。,注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。,2、构成综合评价问题的五个要素,（4）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。,（5）评价者
4、评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。,2、构成综合评价问题的五个要素,3、综合评价的一般步骤,1确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度？）2建立评价指标体系3.对指标数据做预处理（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了如何使指标一致化的问题；（2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处理计算单项评价值。4确定各个评价指标的权重5求综合评价值将单项评价值综合而成。,1.评价指标类型
5、的一致化,极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。-定性指标,二、评价指标的规范化处理,1、评价指标类型的一致化,1.1 将极小型化为极大型倒数法：平移变换法 其中,1.2 将居中型化为极大型对于居中型指标,1.3 将区间型化为极大型,1.4 定性指标的量化处理方法,在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力
6、等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。,如何对有关问题给出定量分析呢？,按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。,假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等级:v1,v2,v3,v4,v5。譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数：,根据这个规律，对于任何一个评价值，都可给出一个合适的量化值。据实
7、际情况可构造其他的隶属函数。如取偏大型正态分布。,2.评价指标的无量纲化,二、评价指标的规范化处理,如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。,2.评价指标的无量纲化,2.评价指标的无量纲化,问题:如何来构造合适的综合评价模型？,三、综合评价模型的建立方法,线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。,三、综合评价的数学
8、模型,1.线性加权综合法,三、综合评价模型的建立方法,线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。,1.线性加权综合法,2.非线性加权综合法,主要特点:（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，（2）乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。适用条件：-各指标间有较强关联性。,三、综合评价模型的建立方法,3.逼近理想点（TOP
9、SIS）方法,4、模糊综合评价法,四、层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,分解,建立,确定,计算,判断,实际问题,层次结构,多个因素,诸因素的相 对重要性,权向量,综合决策,一.层次分析法的基本步骤,设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：y=w1x2+w2x2+wnx 是综合评判函数。w1,w2,wn是权重系数，其满足
10、：wi0,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,将决策问题分为：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,（1）成对比较从 x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj9，认为“
11、xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,O(选择旅游地),成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,
12、定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR=CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,a=1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7
13、,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1a=1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0
14、.110),组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3)w2(3)wn(3),将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,（2）考虑第3层对第2层由19尺度得,权向量矩阵,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),（3）组合权向量,（4）组合一致性检验,层次分析法的基本步骤,1
15、）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,作业4：招聘工作人员,某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如下图所示。,要求：1、每队要加上队号；2、
16、根据结构图建立一个对应聘人员的综合评价函数。3、内容包括变量设置、成对比较矩阵，CI、RI等一致性检验步骤。最后得到的权重向量。注意组合一致性检验。,四、动态加权综合评价方法,2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮(NH3-N)和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。,1.动态加权综合评价问题的提法,根据国标（GB 38382002）的规定，关于地表水的水质可分
17、为类、类、类、类、类、劣类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。,四、动态加权综合评价方法,1.动态加权综合评价问题的提法,动态加权综合评价问题的一般提法：,根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；
18、根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。,实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。,四、动态加权综合评价方法,2.动态加权综合评价的一般方法,2.1 评价指标的标准化处理,2.动态加权综合评价的一般方法,2.1 评价指标的标准化处理,考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出
19、发分析确定。对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。,2.2 动态加权函数的设定,2.动态加权综合评价的一般方法,四、动态加权综合评价方法,2.2 动态加权函数的设定,2.2 动态加权函数的设定,2.2 动态加权函数的设定,2.3 综合评价模型的构建,2.动态加权综合评价的一般方法,2.3 综合评价模型的构建,2.动态加权综合评价的一般方法,五、长江水质的综合评价模型,五、长江水质的综合评价模型,1.指标数据的标准化处理,1.指标数据的标准化处理,1.指标数据的标准化处理,五、长江水质的综合评价模型,2.动态加权函数的确定,五、长江水质的综合评价模型,3.综合评价指标函数的确定
20、,五、长江水质的综合评价模型,4.各城市水质的综合评价,4.各城市水质的综合评价,六、动态加权综合评价方法的特点,从实际的综合评价结果可以看出，针对这样一类多因素多属性的既包含“质差”又包含“量差”的综合评价问题，采用动态加权综合评价方法使得评价结果科学合理。主要特点有:充分地考虑到了每一个因素每一属性的所有“差异”的影响和作用;在综合评价中也充分地体现出了各属性的“广泛性”和“民主性”;避免了在一般的综合评价方法的“一票否决”（即某一指标的劣而导致结果的否定）的不合理性;体现出了综合评价的“综合”二字的含义。,动态加权综合评价方法从方法上增加了综合评价的客观性，大大地淡化了评价人的主观因素对评价结果的影响。这与一般的定常加权法相比其优越性是显而易见的。动态加权综合评价方法不仅适用于水质的综合评价这一类问题，而且，类似的可以用来研究解决诸如空气质量的综合评价问题，以经济和军事等领域的很多综合评价问题，动态加权综合评价方法在实际中非常有推广应用价值。,六、动态加权综合评价方法的特点,
