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1、数学教育学,唐海军四川文理学院数学与财经系,第三篇 教学篇,3.1 数学教育理论介绍,提 纲,一、弗赖登塔尔数学教育思想介绍数学现实数学化再创造二、变式理论,弗赖登塔尔数学教育思想,(一)弗赖登塔尔简介,汉斯弗赖登塔尔（HansFreudenthal,1905-1990年）是荷兰著名数学家、数学教育家，是20世纪最伟大、最具影响的国际数学教育权威。作为一名数学家，他的主要研究领域是拓扑学和李代数，同时也涉及其他数学分支及哲学和科学史领域。,作为一名数学教育家，他非常关注教育问题，很早就把学习和教学作为自己思考和研究的对象，并简单地解释说：“我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题
2、，是为了把教师这一行做好”。在随后长期的数学教育研究实践中，他逐步形成了适应儿童心理发展，符合教育规律，经得起实践经验，并具有自己独特风格的数学教育思想体系。,鉴于他在数学教育方面的巨大成就和贡献，人们把他和伟大的几何学家F克莱因（Fklein,1849-1925年）相提并论，“认为对于数学教育，在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽的功绩，而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。”,弗赖登塔尔关于数学教育的论述，主要收录在他以下三本巨著中：1.作为教育任务的数学（Mathematics as an Education Task）1973年版2.除草与播种数学教育学的序言(Weeding a
3、nd Sowing preface to a science of Mathematical Education)1978年版3.数学结构的数学现象学（Didactical Phenomenology of Mathematical Structures）1983年版,(二)弗赖登塔尔数学教育思想介绍1.弗赖登塔尔对数学本质的看法,“数学是系统化了的常识”而常识并不等于数学,“常识要成为数学，必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次又成为常识，再一次被提炼，组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。,这样，数学的发展过程就显出层次性，构成
4、许多等级，同时也形成诸如抽象，严密，系统等特性。”即数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。,2.弗赖登塔尔的数学教育思想,(1)情境问题是教学的平台(2)数学化是数学教育的目标(3)学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分(4)“互动”是主要的学习方式(5)学科交织是数学教育内容的呈现方式 数学现实，数学化，再创造.,（1）现实的数学 一方面，数学是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内
5、容。与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。,“数学现实”思想,（2）现实的数学教育,“数学的整体结构应该存在于现实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用。对非数学家而言，与亲生经历的现实的联系将是至关重要的”。,每个人都有自己的一套“数学现实”。即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规则和有关的数学知识结构”，其中既含有客观世界的现实情况，也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。,为此，数学教学必须从学生的数学现实开始
6、，现实在不断地扩展，教师的任务就在于,确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”，并随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”，从而据此采取相应的方法，予以丰富，予以扩展，以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。数学教育本身也应该是以这些不同的数学现实为基础构建课程体系，并通过这些课程不断地扩展每个人的“数学现实”，使每个人在数学上都获得最大的发展。,小学学加法，可以有很多不同的实际途径引入，举例来说，可以通过公共汽车经过各个停靠站时上下车的人数来讲，假定汽车里原来有5个人，在第一个停靠站上来了3个人，在第二个停靠站又上来了2个人等等，这时汽
7、车里人数就该是5+3个，5+3+2个，这样小学生就可以自己形成加法的概念，并找出加法运算的规律。,案 例,在这里乘公共汽车就是小学生所接触过的“现实”，自然数2，3，5就是他们拥有的现实数学知识。教师就是根据这两方面的“现实”，帮助学生学习加法这一“现实的数学”知识，并用这些知识扩充学生的“数学现实”。,“数学化”思想,（1）“数学化”的含义,数学化，就是数学地组织现实世界的过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程。,任何数学都是数学化的结果，不存在没有数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不存在
8、没有形式化的形式。与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。,（2）“数学化”的层次与结构,数学化对象有两大类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身的内容，包括数学符号、各种观点、概念以及它的运算方法和规则等。,每个人都有自己特有的“数学现实”，因此数学化就有不同的层次和特征。根据特莱弗（Treffers）和哥弗里（Goffree）的提法，可以将数学化的过程区分为水平的和垂直的两种成分：,从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问
9、题转化为数学问题或已知的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展，称为水平数学化。例如，从实际情景中找等量关系，列方程组。,用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题垂直地加以深入，这一过程称为垂直数学化。例如，从前面所列方程组解出方程，并讨论解的过程。,区分水平数学化与垂直数学化时，区分水平与垂直的标准是数学与现实生活是否有直接的联系如果上述所言的“具体”是指现实生活，也就是从现实的经历中抽象出数学符号，或者寻找、解释抽象符号在现实中的意义，那么都是水平数学化的过程如果所言的“具体”不是
10、指现实生活中的具体的研究对象，而是思维中相对“具体”的数学模型，其间所进行的数学思考以及数学方法的应用，都是垂直数学化的过程。,水平数学化与垂直数学化区分示意图,哥尼斯堡七桥问题,即水平数学化：从“生活”到“符号”的转化过程。垂直数学化：从低层数学到高层数学的数学化过程。,除法 当需要把一些物品分给一群人的时候（例如围成一桌打牌时的发牌），可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直到分完为止；这是分配问题的水平数学化。垂直数学化则在于寻找愈来愈大的份额（直到刚好合适），从而来缩短分发的过程。这些过程是逐步图式化的一个显著的例子。如，18个苹果平均分给3个人，每人分得几个
11、？,水平和垂直数学化的例子,解决实际问题的数学化的一般过程,解决实际问题的数学化的一般过程：,（水平数学化）,数学化思想在小学一年级学生学习加法中的体现：情景问题：笑笑左手拿着2 支铅笔，右手拿着3 支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）,案例：“数学化”的具体步骤,情境层次（水平数学化）：笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈建模层次（水平数学化）：数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？过渡层次：（过渡数学化）：让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获
12、得一个数学事实：2 支铅笔与3 支铅笔合起来一共有5 支铅笔,形式层次（水平数学化与垂直数学化逐渐过渡）：在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：235 或325，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构,有理数的乘法 七年级数学上册,（1）情境：甲水池的水每天上升了3厘米，乙水池的水每天下降了3厘米。问：4天后，两个水池的水位如何变化？,（2）提出问题：34=？（-3）4=？,（3）建模：（-3）4=（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=-12,1观察：（-3）4=-12
13、（-3）3=-9（-3）2=-6（-3）1=-3（-3）0=0,课例片段,3操作：（-3）（-1）=3（-3）（-2）=6（-3）（-3）=9（-3）（-4）=12,4结论：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0.,2提问：有何规律？,因数少1，则积增加3,评 析,（1）这个课例片段的设计来源为荷兰弗赖登塔尔数学教育研究所的相关设计，它较好地体现了弗赖登塔尔“数学化”的思想。课例片段中从情境到问题属于水平数学化；从建模到结论属于垂直数学化。在有理数乘法法则：“负负得正”的教学设计中，这是一个有代表性的设计。,（2）首先，教材设计了一个情境：甲乙水库4
14、天的水位变化，学习活动从情境开始，用数学语言表示问题即：34=？（-3）4=？第二层次是：建模层次这个层次通过将4个-3相加得到答案，再依次减少因数，每次减少1，以寻求一个规律，这就到了第三层次：过渡层次，找到的规律是：因数少1，则积增加3，利用过渡层次和归纳思想，到了第四层次，也是最高的形式层次，学习者发现了有理数乘法的法则。,“再创造”思想,数学教学方法的核心是学生的“再创造”.,（1）“再创造”的依据,在教学时，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践活动的过程中，自己“再创造”出各种数学知识。即应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己
15、的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。,据此他指出：传统的数学教育传授的是现成的数学，是反教学法的，学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生自己去把要学的东西创造或发现出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是生吞活剥的把现成的知识灌溉给学生，并认为这是一种最自然、最有效的学习方法。,从教育方面来看，学生通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于使用它们，一般来说还可以保持长久的记忆。发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习就能引起学生的兴趣，从而使学生学习具有动力。通过“再创造”方式可以进一步促使人们对数学教育是一
16、种人类活动的看法。,案例片段,百分数的认识（教学内容片段）（人教版九年义务教育数学第十一册）设计人：著名特级教师 华应龙,教材设计,导言：在生产，生活和工作中，进行调查和统计，分析比较时经常要用到百分数。例如，某小学六年级的100名学生中有三好学生17人，五年级的200名学生中有三好学生30人。六年级三好学生人数占本年级学生人数的17/100；五年级三好学生人数占本年级学生人数的3/20；由于这两个分数的分母不同，要比较哪个年级的三好学生人数所占的比率大，就困难一些。,概念引入 为了便于统计和比较，通常是用分母是100的分数来表示，3/20可以改写成15/100.这样，就明显的看出六年级三好学
17、生人数占的比例(17/100)比五年级的大。又例如：一个工厂从一批产品中抽出500件，经过检验，有490件合格，这批产品合格的比例是490/500，也可以写成()/100.表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数通常也叫百分率或百分比。,百分数通常不写成分数的形式，而是在原来分子的后面加上百分号“%”来表示。例如：百分之九十 写作90%百分之六十四 写作64%百分之一百零八点五 写作 108.5%做一做（共两题，第1题用涂色的方法表示百分数，第2题：想一想：百分数和分数在意义上有什么不同）,教学任务分析,百分数实际上是表示一个数是另一个数百分之几的数。它同分数有密切的联系，但是它
18、的实际意义和应用又与分数有所不同，在实际生活中有广泛的运用。本节课的教学任务是初步使学生知道百分数的重要性；知道百分数的定义以及表示一个数是另一个数的百分之几，这样的数在进行调查统计时有重要的作用，同时学习百分数的表示法和写法。,教材中百分数概念的引入是用“概念同化”的方式，这样做的优点是比较简明。但是这样做，也许学生对百分数的意义不会有更深刻的认识。考虑到新课程的理念和学生的实际情况，特级教师华应龙做了如下的教学设计：,教学片段实录,问题情境,师:今年(2001年)我国体育界有一件什么大事情发生？生:中国男子足球队冲出了亚洲,走向了世界。,师:对！踢球的11个,赢球的13亿！全国人民喜气洋洋
19、。如果在明年的世界杯比赛中,我们中国队获得一个宝贵的罚点球的机会,你是米卢的话,将会安排哪位球员来主罚这粒点球？,生1：郝海东！生2：祁宏！生3：范志毅！师：你为什么安排郝海东来主罚？生1：郝海东在十强赛中进球最多！师：那你为何让祁宏来主罚？生2：祁宏的脚法最好！师：（看着生3）请说说你的理由。生3：范志毅是三朝元老，心理最稳定。,师：三位都言之有理。那究竟安排哪位主罚呢？我想，米卢会比较一下队员中罚点球最好的那几位的成绩，然后再定夺。你认为呢？同学们点头称是。教师出示以下表格：,师：看了这张表格，你认为谁去主罚最好？为什么？学生大多说“范志毅”。生4：我觉得应让范志毅来主罚，因为他罚球最稳、
20、最准。生5：我觉得哪位失球最少，就该让哪位主罚，所以安排范志毅去罚。师：有道理。郝海东失球数是25-22=3,范志毅失球数是20-18=2,祁宏失球数是50-43=7,这样看来是应让范志毅去罚。同意这一理由的，请举手。全班学生都举手了。,师：考虑好了吗？不改啦？生齐：考虑好了！不改啦！师：按这样的说法，如果我罚点球的成绩是罚1个球,可踢飞了。我的失球数是1-0=1，最小,那个点球倒该我去罚了不成？学生们都笑了。笑过之后是思考，少顷 生6：我会安排范志毅来主罚。因为郝海东踢25个进了22个，照这样计算，郝海东踢100个会进88个；范志毅踢20个进了18个，那么，范志毅踢100个会进90个；祁宏踢
21、50个进了43个，那么，祁宏踢100个会进86个。这样一比较，我是安排范志毅去踢这个点球。,师:是个好主意！乍看不明白，照这样计算之后，都踢满100个球就一目了然。生7:（抢着说）应算进球数与罚球总数的百分比。郝海东是88%，范志毅是90%，祁宏是86%，所以应让范志毅去踢。学生们眼睛一亮，颔首赞同。师:好主意！为什么要算百分比呢？如果不求进球数是罚球总数的百分比，而是求几分之几，行不行呢？这88%、90%、86%又是怎么算出来的？生6和生7的想法有联系吗？请前后桌四人小组讨论讨论。,师：借助百分数，可以很好地解决由谁主罚点球的问题了。看来百分数是个好助手！你课前收集到哪些百分数？在小组内交流
22、交流，说说这些百分数表示的意思，然后小组推荐代表在全班交流。,学生们热烈地讨论起来,（1）华老师根据学生的生活体验,不拘泥于教材的情境内容,自己设计出百分数的教学内容,既让学生感到学习数学的乐趣,也很自然地引导学生从生活过渡到数学课堂。（2）华老师的这个教学设计应该是一个很成功的“再创造”的教学案例。这个成功的教学案例，后来成为他编制北师大版小学数学教材五年级下册中第六单元的情境资源。,评析,案例分析,课题：人教社版小学六年级数学 工程问题执教：云南师大附小赵光萍 时间：2005年9月15日,案 例,一、教材设计：,一项工程5天完成，平均每天完成几分之几？一项工程每天完成1/4，几天可以完成全
23、工程？引入工效,（1）复习：,（2）问题：一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天可以完成？思路：要求两队合修几天可以完成，就要求出两队的工作效率和；把这段公路看作单位“1”，那么甲队每天修这段公路的1/10，乙队每天修这段公路的1/15。两队合修，每天可以修这段公路的（1/10+1/15）,列式：30（30 10+30 15）问：如果去掉“长30千米”这个条件，还能不能解答？1（1/10+1/15）答：（3）做一做（4）作业,二、教学过程实录 1.创设情境，激趣引入(1)教师放录像：美丽的春城风光，西站至黄土坡的路面、交通情况(2)教师从情境中概括出数学信
24、息，提出如下问题：西站立交桥至黄土坡有1800米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。如果你是工程总指挥，你准备如何安排？,学生：两队合修。教师：好，那么两队合修几天可以完成？学生的猜测大致有以下3种：,10+15=25（天）（10+15）2=12.5（天）天数在5天至7.5天之间，理由是：（5+5）2所需天数15 2 教师：谁猜得更准一些呢？,2.合作交流，解决问题（1）教师让学生分组讨论、交流，要求：说出你是怎样思考的？怎样列出算式？学生交流、讨论后，基本上都能列出算式：1800（1800 10+1800 15）个别同学能列出算式：1（1 10+1 15）,但不会解释。,（2）教师
25、首先明确，1800 10，1800 15分别是甲、乙两队的工效，即 工效=工作总量天数并指出在已知工效的前提下求两队合修几天完成，其数量关系是：工作总量（甲队工效+乙队工效）或 工作总量甲乙两队工效之和。,（3）其次，教师提出问题，将工作总量改变一下，如1200米，1500米，100米，50米，会出现什么情况？学生讨论交流后，师生得出下表:,教师：观察该表，你们发现了什么？学生：老师，我明白了一点，题目中所说的甲修10天、乙修15天是指甲、乙必须在10或15天修完，与路面长度无关。教师：对，因此我们可用x表示工作总量，两队合作修路，几天完成？可如下列式：我们常常把工作总量看作“1”，为此上式又
26、可写为：1（1 10+1 15）大家明白了吗？,3.知识迁移，发展问题 教师用课件给出了5组练习：练习1：（平行迁移题）海埂公园有一项工程，甲队单独进行需10天完成，乙队单独进行需15天完成，问两队合作进行需要几天完成？练习2：（改为三队合作完成）世博园要修筑一条长为1500米的围墙，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成，丙队单独修14天完成，问三队合修几天完成？,练习3：（改变题目条件，直接给出工效，考察学生的观察力及是否对所学知识理解）近日公园有一项工程，甲队单独做每天可完成工作总量的，乙队单独做每天完成工作总量的，问两队合作完成这项工程共需要多长时间？练习4：（改变题目的问法）翠湖公
27、园要修筑一条长为2500米的新围栏，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成，问两队合修完成工程的需要几天？,4.归纳小结：先让学生谈学习本节课的学习体会，教师再总结、概括本节课的主要知识点，尤其是用“1”表示工作总量。,练习5：（改变题目的形式）金殿的石阶需要修固，甲队单独修25天完成，乙队单独修15天完成，如果甲队先修5天，剩余的由乙队完成，问乙队需要几天能完成？,评析,（1）教师的教学设计体现了弗赖登塔尔的数学教育思想：,（2）本节课的教学设计是用新课程的理念处理旧教材，说明新课程的理念是符合时代的，能为师、生所接受的.（3）本节课的突破在于如何从：1800（1800 10+1800
28、15）化归为1（1 10+1 15）.教师采用了布鲁纳“关于儿童认知发展阶段”的理论.布鲁纳认为：儿童的认知发展分为三个阶段：动作式表征（动作式再现表象），肖象表征（肖象式再现表象），符号表征（符号式再现表象）,（4）教师的课堂迁移练习设计好。一般而言,数学课程中的练习有如下的分类和作用：分类：增进理解题、加深记忆题、形成技 能题作用：强化学习内容教师设计的五组练习与教学内容形成很好的互补。,（5）师生课堂互动、其目的是帮助学生建构知识。活动的平台、互动的平台是“问题”,变式理论,变式教学是指老是在学生解答某些数学题之后，指导学生进行联想、猜想，对题目的条件和结论作进一步的探索，以寻求更多的解
29、决方法，或从不同的侧面深入思考数学题的各种变化，并对这些变式题进行解答，从而培养学生灵活、深刻、广阔、发散的数学思维能力。,例1（海伦问题）设P、Q是平面上居于直线l同侧的两个定点，Z是l上的动点。,案例,问题1.如图1，要在燃气管道l上修建一泵站，分别向A,B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管线最短？,变式案例,问题2.如图要在燃气管道l上修建一泵站，分别向A,B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管线最短？【人教版课标实验教材八年级上册131页探究题】,问题3.如图一个港湾内停留了M,N两艘轮船，（1）由于某种原因，M船的船长须先到OA岸接一个人，再到N船，问M船的
30、船长应如何行驶，才能使M船所行的航线最短？,问题4.【接上例】如图，若M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到OB岸，最后到N船，问问M船的船长应如何行驶，才能使M船所行的航线最短？,【解析】：（1）由于点P为BC上任意一点，易知当点P和C重合时，PA+PM最大，此时,问题5.如图，设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P为BC上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为s和t，求 的值。【2000年全国初中数学联赛试题】,C,(2)作点M关于BC的对称点N，连结AN交BC边于点P,连结MP，则PA+PM最小。连结CM、CN，由中垂线的性质和等腰三角形的“三线合一”，得:在直角CAN中
31、，综合(1)、(2)得：,【解析】：构造如图所示的几何图形，其中则 即.作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，则的最小值为线段AF的长，则在直角三角形AF=7，EF=6,由勾股定理,得AF=,即的最小值为。,问题6.已知 均为正实数，且 求 的最小值。【2004年湖北省初中数学竞赛预赛试题】,问题7.已知A(0,1)、B(3,2),在轴上求一点P,使 最小。,问题8.【在问题7中】把A、B两点坐标改为A(-2,3)、B(3,2)呢？,问题9.求函数 的最小值。,问题10.已知A(-3,3)发出的光线 l 射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求此光线 l 所在的直线方程。,2
32、008年山东省日照市中考20题,4,13,9,案例,多证变式,变式1,变式1,条件变式,变式2,变式1,题型变式,变式3,变式4,结论变式,变式5,逆向变式,变式6,综合变式,变式7,拓广变式,把这里的“线段”换成“直线”，其它条件不变，求AE的长.,6知3，可证3,收获,用一对全等的直角三角形按下列位置摆一摆，并画出图形.,由摆放图形引出的一系列证明,案例,根据图形提问题,已知：如图，ABCABD C=D=90，点A和点B是对应点求证：ACOBDO,SSS SAS ASA AAS HL,问题1,如图,已知：如图，在ABC中，AB=AC,BE、CD是ABC的高求证：BE=CD,等腰三角形,两腰
33、上的,高相等,问题2,如图,已知：如图，在ABC中，AB=AC,BE、CD是ABC的中线,等腰三角形,两腰上的,中线相等,条件变式,变式1,猜想线段BE和CD的数量关系。,BE=CD,如图,已知：如图，在ABC中，AB=AC,BE、CD是ABC的角平分线,等腰三角形,两底角的,角平分线相等,条件变式,变式2,猜想线段BE和CD的数量关系。,BE=CD,等腰三角形性质,等腰三角形两腰上的高相等,等腰三角形两底角的角平分线相等,等腰三角形两腰上的中线相等,等腰三角形两底角相等,等腰三角形底边上的高、底边上的 中线、顶角的角平分线互相重合,如图,已知：如图，在ABC中，AB=AC,BE、CD是ABC
34、的角平分线,结论变式,变式2,求证：BE=CD,证线段相等的方法有那些？,在一个三角形中在两个三角形中,求证：OB=OC,变式3,已知：如图，在ABC中，DE=DF,DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F.求证：AB=AC.,比比谁聪明,问题3,DE=DF,AB=AC,已知：如图，在ABC中，,DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F.求证：.,逆向变式,变式4,证法1：AB=AC，B=C.DEAB，DFAC，BED=CFD=90.又 BD=DC，DBEDCF.（AAS）DE=DF.,已知：如图，在ABC中，AB=AC,DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F.求证：DE=DF.
35、,变式4,证法2:连结AD.(如图)AB=AC，BD=DC，AD是 ABC的角平分线（等腰三角形底边上中线与顶角平分线互相重合）又 DEAB，DFAC，DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）.,已知：如图，在ABC中，AB=AC,DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F.求证：DE=DF.,多证变式,变式4,连结AD,(如图)BD=DC，.DEAB，DFAC，又 AB=AC,DE=DF.,面积法,已知：如图，在ABC中，AB=AC,DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F.求证：DE=DF.,证法3：,多证变式,变式4,已知：如图，在ABC中，AB=AC，DB=DC，DEAB，
36、DFAC，CMAB,垂足为E、F、M.猜想DE、DF与CM的数量关系？并证明你的猜想,综合变式,连结AD，则 DEAB，DFAC，CMAB,AB=AC,DE+DF=CM.,变式5,面积法,猜想：,证明：,DE+DF=CM.,已知：如图，在ABC中，AB=AC，D是边BC上任一点，DEAB，DFAC，CMAB,垂足为 E、F、M.是否还有DE+DF=CM成立？,拓展变式,变式6,面积法,已知：如图，在ABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上任一点，DEAB，DFAC，CMAB,垂足为E、F、M.是否还有DE+DF=CM成立？若成立，请给予证明；若不成立，请找出DE、DF、CM之间的新的数量关系
37、，并给予证明.,拓展变式,DEDF=CM,变式7,面积法,变式8,请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明.,已知：等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为 ABC的高为.“若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：.”,面积法,图3,图2,图1,类比变式,黑龙江中考题,图2,图3,题目变式,一题多解变式,一题多变变式,一题多用变式,一法多用变式,条件变式,结论变式,逆向变式,图形变式,类比变式,拓广变式,分解变式,跳
38、出题海,变式学习,课题：求通项公式（2）教师：谭中文班级：达州市第一中学班高一（1）时间：2012年3月6日,案例,一、复习,二、新课,由递推关系，求数列的通项,三、课堂小结,评析,著名教育学家顾泠沅先生有一句朴素而富有哲理的名言“听懂的东西做出来，做出来的东西说出来”，在数学教学中怎样才能完成顾先生所提的“听懂做出说出”的过程呢？顾泠沅教授提出了变式过程模式，它永远是实施课堂有效教学的主题在新课程背景下数学变式问题教学的实践，应是课堂有效教学的策略和方法的优先选项,1.变式的难度要有“梯度”变式要循序渐进，应限制在学生水平的“最近发展区”，可能发展区，是介于儿童自己实力所能达到的水平（如学业
39、成就），与经别人给予协助后所可能达到的水平，两种水平之间有一段差距，即为该儿童的可能发展区.要符合学生的认知规律，逐步深人，让学生跳一跳能摘到果子，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率.,2.变式教学要提高学生的“参与度”提倡让学生参与变式，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要学生能够进行变式，教师不能包办代替;同时，对于学生在变式中获得的成功，哪怕只是一丁点儿，教师也要加以肯定表扬，从而让他们感受到“变式”的乐趣，各种能力也在不知不觉中得到提升.,3 变式的数量要“适度”变式过多，不但会造成题海，增加无效的劳动和加重学生的负担，而且还会使学生产
40、生逆反心理，对解题产生厌烦情绪.笔者在一次外出听课学习时，有位教师对一道例题连续给出了七、八个变式，而且在难度上逐渐加大，最后变形的题目无论是从内容还是在解题方法上都相关不大，这样的变式不仅对学生学习本节课的内容没有帮助，而且超出了学生的接受能力，教学效果也就会大打折扣。,在知识的学习中，我们一直也用“熟能生巧”这句古语来鞭策自己.但事实给我们以极大的反差，许多教师认为让学生练熟的知识，学生在考试中，却一错再错。造成这种现象的原因是教师对重点的处理比较单一，就题论题，缺乏演变，缺少一定量的变式训练.数学练习的次数不能代替数学变式训练的强度.在教学中，我们往往重视了前者，忽视了后者.而后者的训练才是具有思维挑战性的训练，需要教师重新组织和调动学生的知识和经验，这是一种创造性的学习过程.因此，变式教学是一种有效的教学模式。,第三篇 3.1.1 结束,
