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1、古典概率概率论初期研究的主要对象,事件A、B、C的概率通常用P（A），P（B），P（C）表示，显然0P（A）1。,注意：概率是随机事件的函数。,一古典概率的定义：,假定某个试验有有限个可能的结果,e1,e2,，eN,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为
2、10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,我们用 i 表示取到 i号球，i=1,2,10.,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.,S=1,2,10,则该试验的样本空间,如i=2,若随机试验E的样本空间S满足：,则称E为古典概型试验。,在古典概型的情况下，事件A的概率定义为：,这样就把求概率问题转化为计数问题.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,二排列组合,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的
3、,1.加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共有n1+n2+nm 种方法.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3+2 种方法,回答是,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,排列和组合的区别：,顺序不同是不同的
4、排列,3把不同的钥匙的6种排列,而组合不管顺序,从3个元素取出2个的排列总数有6种,从3个元素取出2个的组合总数有3种,1、排列:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同排列总数为：,k=n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,从n个不同元素取 k个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,2、组合:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同组合总数为：,你能证明吗？,3、组合系数与二项式展开的关系,令 a=-1,b=1,利用该公式，可得到许多有用的组合公式：,令 a=b=1,得,由,有,比较两边 xk 的系数，
5、可得,运用二项式展开,4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,三古典概率的计算：,例在哈市电话号码薄中，任意取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率？,设A=电话号码后面四个数字全不相同，则,例 2一批产品中有10个正品和2个次品，任意抽取 两次，每次抽出一个，抽出后不放回，求第二 次抽到次品的概率？,设A=第二次抽到次品，则,解：,解：,注意上下一致，上面用排列下面也用排列。,例3将A，B，B，I，I，L，O，P，R，T，Y等 11个字母随机地排成一行，那末恰好排成 单词PROBABILITY的概率是多少？,设A=恰好排成单词PROBAB
6、ILITY，则,或,解：,解：,例5袋中有a个黑球，b个白球，若随机地把球 一个接一个地摸出来，求A=“第k次摸出的 球是黑球”的概率，（ka+b）.,解1:,若把a+b个球编号（使球可辨），把a+b个球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为（a+b）!,第k次摸得黑球有a种可能，另外a+b1次摸球的排列有（a+b1）!种，则,解2：,若a个黑球是相同，b个白球也是相同的，把a+b个球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为,A所包含的基本事件数为，则,此结论说明抽签与次序无关,把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例.n双相异的鞋共2n只，随机地
7、分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,解：,四古典概率的性质：,1对任意事件A，有0P（A）1；,2P（S）=1；,若事件A、B互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B）；,推广：,若 互斥，则：,这是概率的加法公式或概率的有限可加性。,设A、B为任意两事件，则 P（AB）=P（A）P（AB）；,推广：,移项得(6),便得(7).,再由,由可加性,又因再由性质 3便得(8).,推广：,P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)；,注意：概率的前三条性质是它的本质属性，后四 条性质是导出性质。,利用性质可简化运算,一般：
8、设 为n个事件，则,例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件,=4次抛掷中都未出“6”点,的概率.,解：,于是=0.518,因此=0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,而导致事件=4次抛掷中都未出“6”点的结果数有=625种,例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A),先求P(),解：,用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1
9、-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：,表 3.1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,请看演示：,生日问题,
