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1、第六章 多元数量值函数积分学,n元数量值函数：,n元向量值函数：,m唯向量,如,6.1 多元数量值函数积分的概念与性质,一、物体的质量,的非均匀细杆，通过分割、作乘积（近似）、求和、取,极限的四个步骤，,在一元函数的定积分中我们知道：线密度为,即,其质量可表示为,1求非均匀平面薄片的质量,该小块质量近似为:,看作均匀薄片，,将 其近似,将薄片分割成n小块,(作乘积）,分割：,近似：,（i=1,2,n),面密度为：,D,求和：,（闭区域的直径：区域上任意两点间距离的最大者）,（薄片总质量）,取极限：,2.非均匀空间立体的质量,设有一空间物体分布在有界闭区域V上，其体密度,近似:,小区域 的质量的
2、近似值,为 且 在V上连续.,求和：,问该空间物体的质量是多少?,分割:,将近似看作均匀的，,(作乘积）,取极限:,分割,求和,取极限,近似,(作乘积）,3求非均匀空间曲线L的质量,设,分割,近似,求和,取极限,设其面密度为,点M在S上，,且在S上连续.,4求非均匀空间曲面的质量,直线细杆的质量：,平面薄片的质量：,空间立体的质量：,曲线的质量：,空间曲面的质量：,综上所述：,二、多元数量值函数积分的概念,曲线段、平面区域、一片曲面、一个空,间区域），,定义 设 为一有界闭的几何形体(可以是直线段、,f(M)为有界函数,.将此几何形体 任意分割成,n个小块,作乘积：,如果不论对怎样分割，不论M
3、i在i上怎样选取,有同一极限值,则称f(M)在 上可积分,此极限值称为数量值函数 f(M)在几何形体 上的积分。,称为被积表达式；,注意:被积函数f(M)中的,记为:,a,b上直线细杆的质量：,f(x)在a,b上的定积分,平面薄片的质量：,称为在D上的二重积分，,叫面积元素。,在直角坐标系下用平行于,坐标轴的直线网来划分区域D，,则.,称为在V上的三重积分，,空间物体V的质量：,叫体积元素。,的三组平面,则.,称为 在L上的第一类曲线积分，,叫弧长元素。,曲线L的质量：,或对弧长的曲线积分.,如果L是闭曲线，常记为：,称为 在S上的第一类曲面积分，,叫面积元素。,或对面积的曲面积分.,如果是闭
4、曲面，常记为：,空间曲面S的质量：,综上所述，,有如下具体表达式,（二重积分）,（三重积分）,（第一类曲线积分）,（第一类曲面积分）,特别地，,为区间段a,b:,（定积分）,（证明略）,（可积的充分条件）,三、多元数量值函数可积分的充分条件：,四、积分的性质,性质1,（线性性质）,设 以下性质中的积分都存在.,设 为常数，,则,性质2.当被积函数 f(M)1 时，积分,如：,当被积函数 f(x,y)1 时,=D的面积,当被积函数 f(x,y,z)1 时,=V的体积,无公共内点，则,设闭区域 可分成两个闭区域 且 与,如果在 上满足 f(M)g(M),则,性质3（区域可加性）：,性质4（保序性）
5、：,解,例1 比较积分 与,的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为,(1,0),(1,1),(2,0).,三角形斜边方程,在D内有,于是,性质5(估值定理),最大值，则,设m,M分别是 f(P)在闭几何形体 上的最小值和,证明：,解,例2 估计 的值，,其中D：,区域面积,在 上 的最大值,的最小值,性质6（积分中值定理）,设 f(M)在有界闭几何形体 上连续，则存在M0，,证明:,使得,由介值定理知，,.,关于 的对称性：,上述性质中的x=0可换为y=0或z=0，相应地被积函数f(M)中的变量就改为关于y或z的奇偶性。,（证明略）,性质7：,X,Y,解：,积分域关于z=0 面对称，,被积函
6、数是 的奇函数,填空题：设,（P89.1）,证明：,又g(M)不变号，不防设 g(M)0,则,积分得,因 g(M)0,解,练习:不作计算，估计 的值，,其中 是椭圆闭区域：,在 上,由性质5知,6.2 二重积分的计算,一、二重积分 的几何意义：,由下列三个面：,（1）曲顶面S：z=f(x,y)0,（2）底面D：（即曲顶面的投影区域）,（3）侧面：以D的边界线为准线 母线平行于Z轴的柱面。,所围成的立体叫曲顶柱体。,(如图所示),通过分割、,求和、取极限，,求曲顶柱体的体积V：,近似、,-是以D为底，以z=f(x,y)为曲顶面 的曲顶柱体体积V.,设 f(x,y)0，,一般地，是以D为底，以z=
7、f(x,y)为 曲顶面的 曲顶柱体体积的代数和。,二重积分的几何意义,当f(x,y)0时，为曲顶柱体体积V;,当f(x,y)0时，为曲顶柱体体积的相反数 V;,二、平面区域D的表示：,1、X-型区域：,穿过区域内部且平行于y 轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,X-型区域D(如图)可以表示为：,其中，a,b为区域D在x轴上的投影。y1(x)为穿入点，y2(x)为穿出点，,x,Y-区域D(如图)可表示为：,2、Y-型区域：穿过区域内部且平行于x轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,其中，c,d为区域D在y轴上的投影，x1(y)为穿入点，x2(y)为穿出点，,3、如果积分区域D既不是X-型又不是Y-型，则可,将D分成几部分，使得每个部分是X-型或Y-型。,D1、D2、D3是X-型区域，,D=D1+D2+D3,D既是X-型，又是Y-型区域,X-型,Y-型,注意：许多区域即是X-型，又是Y-型。,D是由y=x与抛物线所围成的区域用不等式组表示为：,若将D视为“Y-型”区域,练习：,若将D视为“-型”区域,则D=D1+D2,D1,D2,
