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1、贯穿高中数学的一条重要线索函数,北京教育学院数学系 顿继安TEL:66025001,活动1：标准与大纲的函数部分内容比较,（1）比较内容：函数概念与基本初等函数（数学1：函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数，数学4：三角函数）课程标准与大纲的比较教材的比较（函数概念部分，函数应用部分，三角函数部分）,活动1：标准与大纲的函数部分内容比较,（2）活动内容：通过上述比较，你发现课程标准对函数的要求有何特点？对这些特点,你最有感想和最有疑惑的是什么?你的依据是什么？举例说明.活动形式：独立思考与分组交流 分组研讨，各组由召集人组织，对研讨结论尽心概括并做记录。时间：10分钟,活动1：
2、标准与大纲的函数部分内容比较,（3）集中观点,目录,课程标准对函数的教学要求有何特点？为什么课程标准提出了这种要求？对教学中的建议需要研究的问题,一.课程标准关于函数教学要求的特点,注重实例在概念的形成阶段中的作用函数时描述辩论之间依赖关系的重要数学模型通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景通过实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数时一类重要的函数模型。三角函数是描述周期现象的重要数学模型。,一.课程标准关于函数教学要求的特点,强调应用，而且对于应用的定位既包括应用形成函数概念的思想分析实际问题，还包括函数在数学其他部分知识上的应用，大纲教材：函数应
3、用举例（一节）：包括利息问题、气压问题体重与身高关系）课标教材：函数应用（一章）1 函数与方程 利用函数性质判断方程解的存在；利用二分法求方程的近似解2实际问题的函数建模实际问题的函数刻画；用函数模型解决实际问题；函数建模案例,一.课程标准关于函数教学要求的特点,在函数自身性质的研究中，加强了单调性 的要求，降低了奇偶性的要求，淡化定义域、值域的计算大纲：了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断函数的单调性和和奇偶性的方法 课标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（最小）值及其几何意义；结合具体的函数，了解奇偶性的含义；,一.课程标准关于函数教学要求的特点,增加了一些新知识
4、：分段函数；二分法；幂函数,一.课程标准关于函数教学要求的特点,加强了函数在数学文化方面的要求。大纲的实习作业：实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。课标的实习作业：根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重要作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级上进行交流。,二.为什么课程标准对函数的要求有了这种特点？,函数概念的本质是什么？函数方法的意义是什么？函数概念是怎么发展起来的？它与映射的关系是什么？中学生在函数的学习状况是怎
5、样的？,从一个问题开始对函数概念的本质和函数方法的意义的讨论,某工程队要招聘甲、乙两个工种的工人150人，甲、乙两工种工人的月工资分别为600元和1000元，要求乙工种的人数不少于甲工种人数的2倍。问甲、乙两个工种各招聘多少人时，可使每月所付的工资最少？,解法1：根据甲-600元/人，乙-1000元/人可以断定乙种工人越少越好，但又要满足题目中条件“乙人数不少于甲人数2倍”，“不少于”即“大于或等于”，即等于2倍是乙种人最少，从而求出了甲种人取值范围 150 x=2x=x=50 而甲越最大时，付钱最少。解法2：设甲工种招聘的工人为x，工资z总额为y，则y是x的函数：y600 x1000（150
6、 x）即：y150000400 x150 x2x，解得：x50函数的减函数，所以当x50时，y取最小值。,函数方法提供了一种把问题的逻辑关系清晰表达出来的语言。函数的本质是变量间的依赖和对应关系，把握了这一本质，才能应用函数。研究函数的目的在于通过一个变量的变化来观测或把握另一个变量的变化状况，所以单调性是核心。奇偶性（对称性）自身是几何性质，它为单调性的研究提供了方便，但不能喧宾夺主。具体问题的定义域和值域经常是天然的，它们更多的考察的学生的计算技能，而与对函数的理解无关。,函数为其他数学内容的解决提供了新思路有了函数，方程的近似解可以得到系统研究二分法,应用函数的关键是什么？,复印费的故事
7、函数与高中数学其他部分的关系,为什么复印费如此记价？,一张A4纸的价格是1角钱，B4纸3角钱一张，B4纸是A4的两倍。“如果我用两张A4也就是2角钱，你还费事了”“你可以用两章A4呀”。我当然选择了A4纸。直观来说，复印成本应该是纸张的大小的正比例函数吗，复印单价也应该是成本的一次函数。但是为什么复印店会费力不讨好呢，问了好几个服务员，终于有一个小伙子明白说：复印成本主要是墨的用量，而用墨量主要取决于里面的刷子的转数，如果印A4纸，里面刷子转半圈，但是B4纸却要转3圈，所以价格也是3倍。,函数与其他高中数学内容的关系,算 法：找出解决问题的步骤关于在于把握和表示规律，具体实施中关键在于变量的选
8、择和函数关系的确定。信息安全与密码：加密解密的过程就是函数运算，公开密钥的核心就是单项函数的构造；欧拉公式与闭曲面分类：根据变换对几何图形进行分类，而变换就是映射，就是函数；矩阵与变换：矩阵可以看作是一个函数，该函数的定义域为平面点集；数列与差分：用离散的方法研究函数；坐标系与参数方程：函数的另一种表达方式；开关电路与布尔代数：任意一个电路都可以用一个布尔函数表示，并且该布尔函数就是一个多项式函数。,设计一个算法，输出以内能被和整除的所有正整数。,函数与教育科研因果分析,一次学生调研的效果调研内容：一元一次方程,代数式运算,一元一次方程,一元一次方程为主,二元一次方程组和一元一次不等式,整式运
9、算,函数概念的发展过程是怎样的？它与映射的关系是什么？,函数概念的发展过程是数学发展过程的缩影：积累资料整理积累资料再整理的过程 做反思做反思 感性理性感性理性 事实上，函数概念是在微积分学发展的过程中逐步得到完善和结果，而映射形式的函数概念的定义实际上是在集合论发展起来之后，用集合的语言对函数概念重新进行描述的结果。实际上，整个数学发展的历史大致都是一种先积累资料，然后整理，再积累而后再整理的反复过程。“数学家和教材编写者都不是按照他创造数学的思维过程叙述他的成果，而恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他东西推导出来”（弗雷登塔尔）,中学生的函数学习状况是什么样的？,学生对
10、于函数的理解学生对于函数图象的理解,学生对于函数的理解函数概念,北京市某郊县一所普通农村中学 在函数单元教学前做过学生问卷，问卷中实际上基本涵盖了函数单元中所有的基本问题：求函数解析式问题、求函数值问题、待定系数法确定函数解析式问题、看图象问题、根据数表寻找规律确定函数问题。第一课时函数概念的教学中，教师通过分析调查 问卷中的题目及身边的实例，很自然地得到函数的概念，我以为函数 概念学生已经掌握，没想到第二课 时当我问道：用图象法能表示函数关系吗？除了十几位学生回答可以外，多数学生都表现出沉默和犹豫,访谈对象：席海涛、赵佳琪访谈过程：,师：从图象中你可以看出什么？席：水位随时间的变化而变化。赵
11、：22日到26日水位不断上升，26日水位最高，26日到27水位下降。席又说：24日达到警戒水位。师：那么水位是时间的函数吗？赵答道：水位是时间的函数。席补充：因为有一个时间就有一个水 位值。师：这个图象可以表示函数吗？赵、席异口同声道：不可以！师：既然你们能从图象中读出水位是时间的函数，为什么它不能表示函数关系？席回答：从图象中能读出水位是时间的函数，但是不能写出它的解析式，所以它不是函数。,我又说：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法），有些 函数可以用三种方法表示，有些函数只可以用一种方法表示。如：股市曲线图、气温曲线图，他们只可以用图 象法表示。席、赵思考了片刻说：只要符合函数 定
12、义的关系的都是函数。,学生对函数的理解高中生（一）,北京市某示范高中高一。师：每个同学的学号与成绩之间是不是函数？生：不是！生：变量在哪里呢？生：没有对应关系！生：没有对应关系，两个变量有固定的对应关系，第一个x，第二个y，x每一个值，y对应一个值与它有固定的对应关系，这个写不出y等于什么。几天后，授课教师又对我说了一名学生对这个问题的疑惑。,学生对函数的理解函数图象,北京市某郊县县城中学初二学生：问题：小明从甲地到乙地速度每小时2km/h，路程为6km，小明距离甲地的路程设为y，时间设为x，请写出y与x的函数关系。生（思考，不动）：路程又是y又是6怎么解？画图：y62x，描出7个点，老师连出
13、了一个线段。yx2的图象：一种描出散点后认为做完了；还有同学连出一条直线；还有同学描完散点后用连出直线。,学生对函数的理解图象,北京市某示范高中高一学生观察1：对数函数ylog 3 x的图象生1：写出3y=x；心算并描点（3,1）和(9，2)，坐标系太短，延长，然后就不动了。问：做函数图象是不是要考虑一些特殊的点，比如与x轴的交点生（思考）：是。找与坐标轴的交点，又经历了一番挫折找到了，描出点。就以为自己话完了，我又问他：x轴下面有没有点，你还是规范些吧，列个表，对生2的观察：画出坐标系，没有进展生3：看书，按照反函数法作出的图象，但是她并不明白为什么对数函数是指数函数的反函数，她问我，我让她
14、自己先思考一下，后来郑老师就集中了，不知道她明白了没有。,高一下：正切函数的图象 取点：0，/2,3/2,2正弦函数就是这样画的。能不能描出模样？换点。怎么换？生2：/4，/4，0，老师非常着急 还是直接演示吧！我到现在连三角函数图象都做不出来，还是家教老师教我的。,一位初中教研员的自责：,为什么到高中学生迟迟不能入门？高中上来就是函数，理解函数不是通过技能训练达到的!技能训练和思维训练的切入点和结合点需要思考。不能仅是列表、描点、连线，通过技能真正得到的是什么？通过技能训练从感性上升到理性，这样在高中学习才不会困难。思维训练不到位，只是技能层面的。7个点后直接连线造成了后患。,研究结论（一）
15、,“不能写出它的解析式，所以它不是函数。”这是学习的难点，在数学中，学生认为“式子”和“数”是比较实在的。“我不明白一个式子怎么就成一条直线了”，作图，对于初中生和高中生都是如此困难，似乎原因是相同的：不知道如何把一个解析式变成图象。,研究结论（二）,理解函数概念需要一个漫长的过程，需要循序渐进，但是，并不意味着我们无所作为：学习函数重要的目的之一就是帮助学生形成一种变化的眼光看世界的思维方式；以及如何分析纷繁复杂的变化中的变化的缘起，也就是找自变量、因变量和他们的依赖关系。作图是一种技能，但是技能形成如果离开了思维的发展，其生命力是脆弱的，因此应该通过重视学生作图过程的发展来挖掘作图的思维价
16、值,三.新课程，我们怎么教？,活动2：在新课程的函数教学中，您感觉最大的挑战是什么？,1.挖掘数学建模和数学应用的教育价值概念形成的过程自身就是数学建模的过程数学洞察力：大量不同背景下的问题用数学的视角进行审视,把握问题的数学本质数学概括和表达能力：引导学生将自己的（感性）认识用简洁而精确的语言表达出来，从而使得自己的活动从一个层次上到另一个层次应用既应用知识结论，也要用知识形成中的方法。检验学生对知识、方法的掌握状况应用和联系实际的意义在于通过大量的生活中的例子让学生理解他们所学的这些内容就是他们的生活中一些现象的抽象和升华，一些基本概念就在他的周围，从而对数学产生亲切的情感体验。,2.从知
17、识理解的深刻性的角度认识数学文化的价值重要的数学概念的产生过程中都对人类的行为、观念、态度、精神产生影响。许多问题本来属于人类知识的不同领域，需要各个领域的专家分别进行研究，但是用数学的眼光来看、走进数学的避风港，它们却具有相同的结构，通过数学这种语言，世界内部的和谐得以揭示，这就是数学的魅力！罗素说：数学不但拥有这里，更拥有美一种冷竣而严肃的美。,3.在教学中需要明确各类不同性质的问题，从而确定不同的解决策略 在值得花时间的地方花时间 在学生需要帮助的地方进行有效帮助如何帮助学生识别函数概念的技能形成过程中发展思维当基本概念和基本方法学习后，如何灵活运用这些知识需要的是解题策略的支撑教育需要
18、期待，也需要等待！,4.教学设计中要关注三维目标,教学的过程是已有概念向科学概念的发展过程;科学概念的发展必然蕴涵着科学思维方法的发展;伴随着科学概念和科学方法的形成，形式科学态度、科学观念和科学精神的形成。,对数函数的性质教学目标知识与技能目标：通过对“我们会研究对数函数的哪些性质及如何研究这个函数的性质”的探究，进一步理解对数概念，理解互为反函数的两个函数的图象以及它们的性质间的关系，在此基础上理解对数函数的概念、图象和性质，并会根据对数函数的性质画出，根据对数函数定义域确定复合函数定义域。方法目标：通过对数函数的性质的研究过程、特别是对数函数图象的作图过程，进一步理解反函数思想，通过寻求
19、能够反映对数函数走势的最少的点作图的过程，理解最少的点存在于对数函数性质的把握中，感受到数形结合方法的深刻内涵。情感态度价值观态度：通过对“我们会研究对数函数的哪些性质”的问题的思考和探索，帮助学生反思关于函数性质的研究框架，发展学生主体建构知识的能力，建立学生进行数学学习和探究的自信；通过对“我们怎样研究对数函数”的问题以及对数函数的图象的做法的探索，在具体函数种进一步理解反函数，让学生感受自己反函数概念的理解上的发展；在找到更加简洁却合理的三点作图法种认识到图象深刻反映函数走势和性质的意义并产生作图兴趣。,需要进一步研究的课题,高中生函数概念的学习困难表现、原因分析及解决策略研究函数概念学习过程中的学生发展案例函数教学案例的开发,结束语,函数在你身边函数是中学数学的一条重要主线 函数教学应返璞归真,
